FISICA/MENTE

 

APPENDICE 8

 

 

UN CENNO ALLA TEORIA  DEI GRUPPI DI TRASFORMAZIONE

 

        

Sia dato un insieme G di elementi (oggetti, operatori, funzioni,  equazioni, ... ) A, B, C, ... ed una operazione di composizione di questi  elementi tra loro (operazione che indichiamo con ©) tale che il risultato della composizione fornisca ancora un elemento M dell'insieme G.

         Ebbene, gli elementi che costituiscono G formano un gruppo quando essi, oltre all'operazione di composizione ora detta, soddisfano ad una serie di postulati che risultino indipendenti l'uno dall'altro:

1) Ogni coppia ordinata A e B degli elementi del gruppo si combina, in modo che;

  A © B  = M

il risultato M della composizione appartenga a G, dove M può essere uguale ad A, a B, ad entrambi (se sono identici) a nessuno dei due.

2) La composizione è associativa, cioè:

                 (A © B) © C = A © (B © C)

3) Nell'insieme G vi è un unico elemento N tale che:

                    T  ©  N  = N  ©  T  = T

4) L'elemento N verifica necessariamente la condizione:

  N = N-1

cosicché, ammesso che T possa essere identico a T-1, per ogni elemento T vi è sempre un elemento T-1  tale che:

                                                                                       . T-1 = N

5) Se esistono elementi N, presone uno unitamente ad un altro elemento T qualunque, l'equazione:

                                                                                        T . x = M

deve avere per soluzione uno degli elementi di G.

6) Per alcuni gruppi (gruppi abeliani) deve valere la proprietà commutativa tra gli elementi del gruppo:

                                                                                   A © B = B © A

        Nel caso gli elementi di un gruppo siano equazioni di trasformazione, si ha a che fare con un gruppo di trasformazione.

        Supponiamo ora di avere un certo numero n di equazioni del tipo:

x1 f1(x1, x2, ..., xn)          

                                                                          x2 =  f2(x1, x2, ..., xn) 

    (1)                                                                                          .............................................

                       .                                                                    ............................................

     xn =  fn(x1, x2, ...,xn)                  

 dove le fn sono funzioni reali delle variabili reali x1, x2, ..., xn  (ci stiamo occupando di un caso particolare). Supponiamo ora che le (1) siano risolvibili; esse ci forniranno una trasformazione delle n variabili x1, x 2., ... xn, nelle n variabili x'1, x'2, ... , x'n. [Si osservi che in generale nelle f compariranno anche dei parametri a1, a2, ... , an, ad ogni insieme di valori dei quali corrisponde una data trasformazione].

Allora: 

a) Una trasformazione che lasci invariate le variabili si chiama trasformazione identica,

b) Due trasformazioni si dicono inverse o reciproche quando il loro prodotto fornisce la trasformazione identica.

c) Due trasformazioni si dicono invertibili quando ad esse è applicabile la proprietà commutativa.

d) Operando due successive trasformazioni si origina il prodotto di due trasformazioni.

         Avendo dato queste definizioni, con l'imporre che le trasformazioni in oggetto soddisfino ai postulati dal numero 1) al numero 6) precedentemente enunciati, si dispone di un gruppo di trasformazione.

        Per concludere questa appendice occorre ricordare che la teoria del gruppi prese le mosse dai lavori (indipendenti) di Abel (1802 - l829) e Galois (1811 - 1832) tesi a trovare metodi di risoluzione per le equazioni di 5° grado.

        Per quel che interessa più direttamente la relatività va notato che le trasformazioni che trovò Lorentz non godevano della proprietà di gruppo, contrariamente a quelle trovate, indipendentemente, da Poincaré e da Einstein.

 

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