Il quinto postulato di Euclide, nella forma datagli da Proclo (5° secolo d. C), così recita:

  "Per un punto non giacente su una retta passa, nel loro piano, una sola parallela ad essa".

       Per secoli ci si era impegnati a trovare una qualche dimostrazione di questo postulato finché, agli inizi dell' 800, si riuscì a provare l'impossibilità di dimostrarlo.

       Coloro che dettero il più rilevante contributo a questa impresa furono il matematico ungherese Janos Bolyai (1802 - 1860) ed il matematico russo Nikolaj I. Lobacevskij (1793-1853) negli anni che vanno dal 1823 al 1855 [il primo che provò a trarre le conseguenze della negazione del 5° postulato fu il matematico italiano G. Saccheri (1677 - 1733) nel 1733. Si noti inoltre che già Gauss (1777 - 1855) aveva elaborato studi molto avanzati nella costruzione di geometrie che partissero dalla negazione del 5° postulato, ma non li pubblicò].

       Alla geometria da loro indipendentemente costruita si dà il nome di geometria iperbolica. Questa geometria è una delle possibili geometrie non-euclidee, nel senso che viene costruita a partire dalla sostituzione del quinto postulato di Euclide con quest'altro:

"Tutte le linee rette poste in un piano ed irradiantesi da un punto possono, in rapporto ad ogni altra retta del piano, essere divise in due classi: quelle che intersecano e quelle che non intersecano l'altra retta considerata. La linea che separa le due classi dicesi parallela alla retta, data."

       La figura 1 può servire ad illustrare il postulato. Secondo la geometria euclidea, r' (perpendicolare alla perpendicolare tracciata per P alla retta r) è l'unica parallela alla retta r. Secondo la geometria iperbolica tra le rette del 

Figura 1

 

fascio per P ve ne sono due, h e k, che separano le rette che vanno a secare r da quelle che non vanno a secare r. Queste due sono rette parallele alla retta r passanti per il punto P. Si noti che queste rette hanno ciascuna un suo verso di parallelismo: k ha verso destro mentre h ha verso sinistro. Si noti inoltre che anche tutte le rette comprese nell'angolo a  (e sempre passanti per P) non sono secanti la retta r.

       E' evidente che il parallelismo (nel verso destro) di k con r, come il parallelismo (nel verso sinistro) di h con r, è asintotico. Gli angoli b di figura, sono chiamati angoli di parallelismo.

       Ora, caratteristica della geometria iperbolica, è che l'angolo a è acuto (in quella euclidea era retto). Si vengono quindi a modificare quelle conclusioni della geometria euclidea che discendevano dal postulato delle parallele. In particolare risulta ora che la somma degli angoli interni di un dato triangolo non è più uguale a due angoli retti ma è minore di questa quantità (vedremo tra breve - figura 3 - dei disegni illustrativi di un tal triangolo e degli altri possibili).

        Per concludere su questa geometria occorre dire che tanto per Bolyai che per Lobacevskij la geometria euclidea si ottiene come caso limite della geometria iperbolica quando ci si riferisca al ristretto spazio nel quale sulla Terra si svolgono le nostre esperienze.

        Su strade diverse, ma sempre non-euclidee, si mosse qualche anno più tardi il matematico tedesco Bernhard Riemann (1826 - 1866). Nello sviluppare una geometria differenziale egli ebbe modo di introdurre un nuovo tipo di geometria non-euclidea (il lavoro è del 1854 ma fu pubblicato postumo nel 1868).

     I postulati fondamentali introdotti da Riemann, in luogo del quinto di Euclide, sono due:

  1) La retta è una linea finita chiusa.

  2) Per un punto non passa alcuna parallela ad una retta data.

       A partire da queste due affermazioni Riemann sviluppò la sua geometria che prende il nome di geometria ellittica. Nell'elaborare la sua grande impresa, Riemann dovette attaccare anche un altro dei postulati di Euclide, quello che afferma che  per due punti si può condurre una sola retta.

      Per capire quanto qui sostenuto occorre dire che la geometria di Riemann è relativa a superfici con curvatura costante (vedi più avanti). Una di queste superfici è certamente la sfera alla quale ci riferiremo. Pensiamo una circonferenza tracciata su una sfera di raggio infinito: abbiamo una retta in senso euclideo. Riducendo il raggio di questa sfera ci troviamo nelle condizioni di Riemann ed una circonferenza su di una sfera di raggio finito è una retta nel senso di Riemann.

     Su una sfera, quindi, per due punti si può  far passare una retta ed una sola (una circonferenza nell'accezione Euclidea). Ma se questi punti si trovano agli estremi di un diametro della sfera per essi possono passare infinite rette. Una conseguenza della geometria ellittica è che, sempre riferendoci al nostro esempio della sfera, la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di due angoli retti. Per capire quest'ultima affermazione, anche per confronto con la geometria euclidea e quella iperbolica, riferiamoci alla figura 2. Nella figura 2 a è rappresentato un piano euclideo che 

Figura 2

ha una curvatura nulla e di conseguenza la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due angoli retti (geometria euclidea). Nella figura 2 b è rappresentata una. sfera, superficie a curvatura costante positiva, sulla quale la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di due angoli retti (geometria ellittica). Nella figura 2 c è rappresentata una superficie a sella, superficie che non ha curvatura costante e che, anzi, ha una curvatura negativa, sulla quale la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di due angoli retti (geometria iperbolica; si noti a margine che la rappresentatività di questa geometria fu dimostrata per la prima volta dal matematico italiano E. Beltrami - 1835/1900 - nel 1868).

       Già che abbiamo iniziato a confrontare con disegni le tre geometrie in oggetto, facciamo ancora dei confronti. Pensiamo ad esempio ai triangoli simili della geometria euclidea. Sempre aiutandoci con la figura 2, si può vedere che, nel caso euclideo (a) si può parlare di triangoli simili; nel caso ellittico (b) la somma degli angoli interni di un triangolo risulta più grande quanto più grande è il triangolo; nel caso iperbolico (e) la somma degli angoli interni di un triangolo diventa sempre più piccola quanto più il triangolo ingrandisce.

       Riguardo alla questione che più direttamente riguarda il quinto postulato con quelli che lo hanno sostituito, si può vedere figura 3.  

  Figura 3

       Nel caso euclideo (a) vi e' una sola retta, parallela alla data, passante per un punto P esterno ad essa; nel caso ellittico (b), se si vuo trovare la parallela all'arco di circonferenza passante per i punti A e B e passante per i punti C e B (ambedue equidistanti dall'arco di circonferenaa passante per A e B) si deve tener conto che per C e D non può passare una retta nel senso euclideo ma solo un arco di circonferenza o geodetica) che necessariamente andrà ad intersecare il nostro arco passante per A e B (si noti che la linea tratteggiata sta sulla faccia della sfera a noi  offerta); nel caso iperbolico (c) si vede subito che di rette parallele alla retta r data ve ne sono certamente due (h e k) e poi tutte quelle comprese nell'angolo formato dai prolungamenti delle due rette.

        C'è poi da aggiungere che nel caso euclideo (a), una data distanza (segmento ordinario) si conserva, qualunque spostamento facciamo fare ai due punti che delimitano questa distanza; nel caso ellittico (b) vale la stessa proprietà, con l'avvertenza che ora la distanza è rappresentata da una geodetica; nel caso iperbolico (c) questa proprietà non si mantiene più e si dovranno considerare, via via che ci spostiamo sulla sella, delle distanze diverse.

        Per capire meglio ciò si può pensare di ritagliare su un pezzo di carta un triangolo  euclideo:  se  lo facciamo  scorrere  su di  un piano non incontriamo alcun problema; facciamo la stessa operazione con un triangolo di buccia d'arancia su di un'altra arancia: dovunque spostiamo il triangolo, esso trova esatta sistemazione sull'arancia; prendiamo ora un triangolo di sella: se lo spostiamo lungo la sella non si adatta se non alla posizione da cui l'abbiamo prelevato.

       Per.portare a compimento queste brevi note non resta che definire ciò che abbiamo introdotto senza alcuna spiegazione: la curvatura di una superficie.

       Supponiamo di avere una curva piana rappresentata a tratto continuo nella figura 4 a. Se si vuol conoscere la sua curvatura per un arco (infinitesimo) compreso tra i punti A e B non si deve far altro che considerare la circonferenza 

Figura 4

che abbia nell'arco come suo arco e quindi fare l'inverso del raggio di questa circonferenza. Cosicché la curvatura k dell'arco AB sarà k = 1/r.

         Nel caso più generale di una superficie le cose si complicano, anche se Euler ha dimostrato un teorema che facilita di molto le cose. Riferiamoci ad un ellissoide (la sfera è un caso particolare di ellissoide), quello riprodotto in figura 2 b. Se vogliamo calcolare la curvatura della superficie in un suo punto P bisognerà trovare tutte le sezioni perpendicolari all'ellissoide passanti per P: ciascuna di queste sezioni rappresenterà una linea con propria curvatura (nel nostro caso è evidente che la curvatura della sezione passante per DBE è inferiore a quella della sezione per ABC). Ebbene, tra queste sezioni, ve ne sarà una con curvatura massima ed una con curvatura minima; Euler ha dimostrato che le curvature massima e minima corrispondono a sezioni tra loro perpendicolari. Con ciò, se r e' il raggio della circonferenza che meglio approssima la curvatura minima (in P) ed R il raggio della circonferenza che meglio approssima la curvatura massima, (in P), per la curvatura in P vale la relazione:  k = 1/Rr. Si vede subito che al tendere ad infinito di una sola delle quantità a denominatore, k risulta nulla.

        La geometria euclidea, approssimazione di una geometria su una sfera di raggio infinito, presenta k = 0 .

        La geometria ellittica avrà  k > 0.

        Per quel che riguarda la geometria iperbolica, osservando che i centri di curvatura delle sezioni minima e massima si trovano da parti opposte rispetto alla superficie (figura 5) e che quindi i raggi r ed R vanno presi con segno opposto, si vede subito che si avrà k < 0.

 

Figura 5

     Quanto ora detto ci permette  di arrivare ad altre conclusioni. Un cono od un cilindro, ad esempio, presentano k = 0, poiché mentre r  è  uguale ad un numero qualunque, R è certamente infinito (infatti se si fa una sezione, passante per un punto P sulla superficie e parallela alla base di un cono o di un cilindro all'altezza che si vuole,  si troverà una data curvatura legata al raggio r della circonferenze, ottenuta, come sezione; ma se si fa la sezione perpendicolare a questa prima., sempre per P, si trova un rettangolo od un triangolo (ordinari) a seconda che si abbia il cilindro od il cono; per P passerà ora una retta, con curvatura nulla, che e' quindi assimilabile ad una circonferenza di raggio R che vale infinito). Allora per cilindro e cono si ha k = 0, come nel caso delle superfici euclidee piane. Ebbene si dimostra facilmente che superfici che abbiano uguale curvatura sono applicabili l'una all'altra, di modo che se ritagliamo un cono od un cilindro di carta possiamo farlo aderire perfettamente ad un piano; e questa operazione non ci è possibile realizzarla né con una sella né con una sfera perché il k del piano vale zero mentre il k di queste ultime figure geometriche è diverso da zero (per il caso della sfera si può pensare all'impossibilità di riprodurre con esattezza la Terra su di una. carta geografica).

       Ho solo dato qualche cenno che però mi pare sufficiente per poter concludere che letteralmente si aprono nuovi mondi.

       Questi mondi troveranno sviluppi e rappresentazioni nei lavori di F.Klein (1894-1925), di H.Minkowskij (1864-1909) e di D.Hilbert (1862-1943).

       Non a caso  le  cosmologie,  prima fra tutte  quella di  Eistein, prendono le mosse da queste geometrie (in particolare Einstein elaborerà la sua relatività generale utilizzando la geometria ellittica di Riemann. 

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