FISICA/MENTE

     

 

       Prima di far questo, però, forniamo un modo più semplice per rappresentare le bande. Allo scopo serviamoci della figura 14.

 

     Nella figura 14 (a) sono schematizzate le bande energetiche che si formano all'interno di un solido: la banda ad energia più bassa è completamente piena di elettroni, quella intermedia altrettanto, mentre l'ultima è completamente vuota.

     I casi che si possono presentare in termini di riempimento di bande e distanza tra queste ultime sono riportati in fig.15:

 

 

     La figura 15 (a) è relativa al caso di un materiale isolante. Le prime due bande sono completamente piene di elettroni, mentre l'ultima banda è completamente vuota. Nelle bande completamente piene gli elettroni non hanno possibilità di contribuire alla conduzione, a causa del principio di Pauli. Infatti l'acquisto di energia da parte di un elettrone implica un suo salto ad un livello energetico a cui compete una energia superiore, ma, essendo tutti i livelli occupati da due elettroni con spin antiparalleli, non c'è possibilità, all'interno della banda, che un elettrone acquisti energia, poiché non ha livello energetico dove sistemarsi. D'altra parte i primi livelli non occupati da elettroni (quelli attraverso i quali gli elettroni stessi potrebbero condurre) si trovano sulla terza banda, quella completamente vuota, ma il salto energetico E1 tra la banda piena e quella vuota è tanto grande che la forza elettrica, comunemente impiegata, non è in grado, da sola, di fornire energia sufficiente ad un elettrone, che si trova nella banda piena, per questo salto.

      La figura 15 (b) è relativa al caso di un materiale conduttore. La prima banda (quella ad energia più bassa) è completamente piena di elettroni, la seconda è piena per metà , mentre la terza è completamente vuota. In questo caso basta fornire agli elettroni una piccolissima quantità di energia  E2 per mandarli in conduzione sui livelli energetici che sono liberi all'interno della stessa banda (quella ad energia intermedia). [Ricordiamo che fornendo energia ad un « set » di elettroni, situati in una banda, i primi ad essere eccitati sono quelli che si trovano sui livelli energetici superiori della banda].

      La figura 15(c) è infine relativa al caso di un materiale semiconduttore. La prima banda è completamente piena di elettroni, come pure la seconda, mentre la terza banda è completamente vuota. Come si può osservare la situazione è strutturalmente simile a quella di un materiale isolante; la differenza è che il salto energetico E3 fra le ultime bande, nel caso del semiconduttore, è molto minore del salto energetico E1 del caso dell'isolante. Quando l'intervallo E3 di energia è sufficientemente piccolo l'energia termica (dovuta a volte anche alla sola temperatura ambiente) è in grado di eccitare alcuni elettroni della parte superiore della banda piena, attraverso l'intervallo di energie proibite agli elettroni, fino alla parte inferiore della banda vuota. Allora la banda « piena » non lo è del tutto, e quella «vuota» neppure, e gli elettroni possono condurre in entrambe le bande (vedi figura 16). Poiché, pero, vi sono relativamente pochi elettroni liberi di

farlo, i materiali che presentano queste proprietà (silicio, germanio,...), non conducono una corrente paragonabile a quella dei metalli e si meritano il nome di semiconduttori.

SPIEGAZIONE CON LA TEORIA DELLE BANDE DI ALCUNI FENOMENI CHE NON TROVANO SPIEGAZIONE CON LA TEORIA DELL'ELETTRONE LIBERO

 

    Abbiamo già visto qual è la differenza tra materiali conduttori e materiali isolanti; abbiamo così spiegato un primo fenomeno che la teoria dell'elettrone libero non spiegava.

    Cerchiamo ora, con la teoria delle bande, di rispondere a quell'altro problema che era rimasto insoluto: perché la forte corrente che può condurre un metallo diminuisce al crescere della temperatura, mentre la debole corrente condotta da un isolante aumenta con la temperatura?

    Per rispondere a questa domanda occorre risalire alla natura ondulatoria degli elettroni.

    Consideriamo quindi un gas di elettroni all'interno di una scatola in cui una dimensione prevalga nettamente sulle altre due (come riportato in figura 17).

 

    Questa situazione rappresenta in prima approssimazione gli elettroni liberi all'interno di un metallo.

    Ad ogni elettrone è associata un'onda che ha la caratteristica di darci la probabilità, ad ogni istante, di trovare l'elettrone in un certo punto dello spazio (l'altezza dell'onda in un punto misura la probabilità che l'elettrone si trovi in quel punto).

    Affinché un'onda possa esistere lungo il « segmento » L occorre che essa valga zero alle due estremità di L (vedi figura 18).

 

     Questo fatto è direttamente legato al moto di un elettrone lungo la direzione L all'interno della scatola. Se l'elettrone è un'onda (e se c'è l'onda c'è l'elettrone), esso urtando ad una estremità della scatola deve riflettersi su se stesso (ricostruendo la stessa onda) per andare di nuovo ad urtare all'altra estremità che lo farà di nuovo riflettere su se stesso (ricostruendo la stessa onda).

     In definitiva la condizione per l'esistenza di un'onda (un elettrone) all'interno di una scatola è che lungo L possa starci un numero esatto di mezze lunghezze d'onda o, che è lo stesso, 2L=nl (si ricordi quanto visto sulla condizione di esistenza di un'onda su una corda).

     All'interno della scatola gli elettroni si muoveranno o verso destra o verso sinistra ed il grafico che ci fornisce le energie degli elettroni in funzione delle velocità è dato dalla figura 19 (si ricordi che  E = l/2. mv2 rappresenta una parabola nel piano E, v).

 

     Le lunghezze delle onde permesse (vedi fig. 18) determineranno le velocità permesse che risulteranno equidistanziate sull'asse delle ascisse di figura 19 (si ricordi che v è proporzionale a l ). Sull'asse delle ordinate vi sarà invece l'energia che è permessa ai singoli elettroni che nel caso in esame (gas di elettroni in assenza di nuclei atomici) sarà tutta cinetica.

     Nella scatola gli elettroni (in assenza di forze esterne) si muoveranno indifferentemente verso destra e verso sinistra cosicché si può pensare che una metà circa si muove verso destra mentre l'altra metà si muove verso sinistra. Il risultato è che non si ha nessuna « corrente » elettrica risultante.

     Prendiamo ora la scatola ed alle due sue estremità applichiamole una forza elettrica in modo che questa provochi uno spostamento degli elettroni da sinistra verso destra (in realtà ci sarà una componente di velocità che si sottrarrà agli elettroni che si muovono verso sinistra ed una componente di velocità che si sommerà agli elettroni che si muovono verso destra). Il risultato può essere schematizzato come in figura 20.  

 

     Completiamo ora il modello inserendo nella scatola a distanze regolari i nuclei atomici (ricordando che la dimensione L è molto maggiore delle altre due si dovrà considerare una sola fila equidistanziata di nuclei).

     Con i nuclei aggiunti al gas di elettroni la scatola ci rappresenta in prima approssimazione la situazione di un metallo e in accordo con quanto visto nel paragrafo precedente bisognerà tener conto dell'esistenza di bande di energia permesse e proibite.

    La figura 21 ci rappresenta la nuova situazione.

 

Ora, evidentemente, non è più possibile pensare che indefinitamente gli elettroni « passino » da sinistra a destra come avveniva nel caso illustrato in figura 20 (gas di elettroni senza nuclei). Poiché ad ogni passaggio da sinistra a destra corrisponde un acquisto di energia (al passaggio ad un livello energetico più elevato) è chiaro che, data la struttura a bande, questo processo debba ad un certo punto interrompersi (quando gli elettroni sono arrivati ad occupare il livello energetico più elevato che compete ad una banda di energia permessa).

     E quando un elettrone raggiunge il livello energetico più elevato di una banda sarà riflesso all'indietro andando ad occupare livelli lasciati vuoti alla sinistra (vedi figure 22 e 23).

   

    A questo punto si può introdurre l'effetto originato dalla temperatura.

    La temperatura fa aumentare il moto di vibrazione degli atomi originando quindi una più marcata variazione delle distanze interatomiche del reticolo cristallino (la situazione atomica appare agli elettroni più disordinata). Questo fatto origina la riflessione di elettroni che hanno anche lunghezza d'onda diverse da quelle del limite della banda ed in definitiva si avranno riflessioni di elettroni anche molto prima che essi vadano a trovarsi al limite della banda.

     La nuova situazione è illustrata in figura 24.

 

     Quando gli elettroni sono diffusi a sinistra trovano stati ad energia più bassa avendo ceduto sotto forma di calore la differenza di energia agli atomi che li hanno diffusi. Più sale la temperatura e più il disordine atomico aumenta e più onde elettroniche (anche di diverse lunghezze d'onda) saranno riflesse dagli atomi del reticolo.

    E' allora evidente che nel caso di un conduttore, all'aumentare della temperatura debba aumentare la resistenza elettrica.

    Rimane ora da prendere in considerazione ciò che avviene per un isolante all'aumentare della temperatura.

     Se si scalda molto un materiale isolante aumenta notevolmente l'energia di oscillazione degli atomi che si trovano ai nodi del reticolo. Questa energia si trasmette agli elettroni i quali non potendo « muoversi » all'interno della banda in cui si trovano cercano altri stati in cui sistemarsi. Gli impulsi che gli elettroni ricevono dagli atomi del reticolo sono sufficienti a permettere che una parte di essi possa saltare nella banda vuota dove può cominciare ad entrare in conduzione.  

 

BIBLIOGRAFIA

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