ALCUNE QUESTIONI DI MATEMATICA NELL'ANTICHITA' PRECLASSICA

PARTE I - EGITTO

Roberto Renzetti

PREMESSA.

        Vi è un accordo comune tra svariati storici sulla difficoltà di ricostruire compiutamente la matematica preellenica, quella di Egiziani, Caldei, Fenici, Babilonesi. Vari documenti vi sono ed altri se ne vanno aggiungendo man mano che le ricerche archeologiche fanno dei passi in avanti. Ma il problema, più che di materiali storici, è della loro interpretazione. La maggior parte dei testi di storia della matematica, liquida in un primo capitolo introduttivo la matematica dei 3000 anni (sic!) prima dell'auge della matematica greca (a partire dal 600 a.C.). Solo alcuni dedicano un capitolo all'Egitto ed uno alla Mesopotamia, trattata come un tutt'uno.

Non voglio in nessun caso fare la storia di questa matematica (sarebbe un sfida molto complessa e non ne sarei in grado) ma solo tentare, in breve, di ricostruire alcuni processi di calcolo seguiti in Egitto (finalizzati principalmente alla misura) ed in Mesopotamia (con caratteri più astratti) al fine di comprendere alcuni meccanismi che hanno aperto certe strade e che oggi, in gran parte, non si utilizzano più. Per farlo occorre partire dalle necessità di uso pratico che si dovevano porre agli antichi.

1 - PERCHÉ SI E' SVILUPPATA LA MATEMATICA

        Giancarlo Masini, nella sua gradevole Storia della Matematica (SEI, 1997) ci parla dei comportamenti della cornacchia che sa contare. Egli dice che un uccello che abbia deposto quattro uova non si accorge se gliene viene sottratto uno e continua a covare gli altri 3. Ma si accorge se gliene vengono sottratti 2. In tal caso abbandona il nido. Ciò indica che l'uccello sa contare almeno fino a due. Ma la cornacchia, secondo il naturalista John Lubbock, sa contare addirittura fino a quattro, dopodiché fa confusione(1). Questi piccoli aneddoti servono solo per dire che probabilmente l'uomo primitivo aveva gli stessi problemi, quelli di riuscire a contare e mantenere a mente fino ad un certo punto per poi perdersi. E, quando dico contare, sembra verosimile pensare ad oggetti materiali e quindi a cose presenti (animali, figli, membri della tribù, oggetti di uso ...) e giammai ad entità astratte. Ma c'è di più: sembra proprio che il contare ed il parlare siano state "scoperte" simultanee dell'uomo primitivo. E qui si poneva un problema che è testimoniato da innumerevoli antichi ritrovamenti: esistono simbolismi precisi per l'uno ed il due, poi vi è il riferimento ad una quantità generica definita "mucchio" o consimili. E questo mucchio, probabilmente era il mucchietto di sassi che si costruiva per contare quantità superiori a quelle che si potevano ritenere a mente. Occorreva costruirsi il concetto astratto di numero insieme al fatto che poi occorreva ritenerlo in qualche modo. Per fare ciò occorsero secoli che noi non siamo in grado di seguire storicamente ma che possiamo intuire osservando la formazione del concetto di numero e quantità nei bambini. Questi ultimi contano bene fino a due, appunto, poi introducono il "tanti" che corrisponde a quel mucchio di sassi. Inoltre sono ancora i bambini a fare qualcosa che risulta naturale. Aiutarsi con le dita per contare, addirittura facendo in un modo che risulta interessante, per ciò che dirò, è tipico dei bambini. Avrete notato che stendono la manina ed iniziano a sollevare il mignolo (e non il pollice), poi l'anulare, eccetera. A volte qualunque sia la quantità, ti mostrano la palma della mano completamente aperta, per poi abbassare con l'altra mano le dita in più. Insomma numeri e contatori devono essersi ben presto associati per originare quelle che oggi noi conosciamo, con parola difficile, basi di numerazione. Probabilmente non ci facciamo più caso ma nella vita quotidiana noi usiamo diverse basi di numerazione: base 10 (per i conti ordinari), base 60 (per gli angoli e per il tempo) (2), base 12 (per le ore e per altre piccole cose restate nell'uso come la dozzina di uova), .... Cerchiamo di ricostruire la possibile nascita di queste basi proprio attraverso le dita delle mani.

La base 10 pare la più evidente perché nasce dalle 10 dita delle due mani. Ma qui doveva nascere un qualche problema se, arrivati a 10, si doveva andare ad 11. Dove lo si manteneva indicato ? Si, perché il problema era anche quello di mantenere memoria del conto che si andava facendo. Diciamo che la base 10 risultava troppo piccola per fare conti con quantità maggiori appunto di 10. Occorreva moltiplicare le dita con un uso adeguato. Vediamo come fare. Consideriamo ad esempio la mano destra ed apriamola considerando il pollice non come un possibile numero ma come contatore. Se spostiamo il pollice successivamente sulle falangi, falangine e falangette del mignolo abbiamo contato fino a 3; ripetendo ciò per l'anulare arriviamo a 6; ripetendolo per le altre due dita arriviamo a 12 ! Che è un possibile modo di intendere come sia nata quella base. Utilizzando cioè una mano sola contiamo fino a 12, di più che con le dita delle due mani. L'estensione di questo metodo è naturale, con l'introduzione dell'altra mano inizialmente chiusa a pugno. Ogni volta che si è contato 12, si solleva un dito della seconda mano. Quando sono sollevate le cinque dita dell'altra mano si è arrivati a 60. Si è fatto un piccolo miracolo, potenziando al massimo le disponibilità di conto offerteci dalla fisiologia e verosimilmente questo deve essere stato il modo in cui sono andate le cose. Faccio notare che in paesi contadini le persone anziane contano ancora con il sistema ora descritto. E, se usano il sistema decimale, lo fanno contando a partire dal mignolo.

Si possono anche fare delle illazioni di tipo storico. L'uomo primitivo, nomade, alla ricerca del cibo mediante prodotti spontanei della terra, caccia e pesca non deve aver avuto necessità di utilizzare numeri che andassero al di là del 10. Tale necessità deve essersi accresciuta con il passaggio alla sedentarietà, all'agricoltura, all'allevamento. Non mi dilungo ma sembra evidente che un gregge richiede precisi conteggi, allo stesso modo che ceste di grano e/o di sementi. Fino a quando non si iniziarono gli scambi che dovettero prevedere un'accelerazione dei processi aritmetici. Il prevedibile inizio poteva essere: una pecora è contata con una conchiglia, due pecore, due conchiglie, .... ed alla fine si aveva un gregge da una parte ed un mucchietto di conchiglie dall'altra parte e si era realizzato un altro importante concetto di matematica, la corrispondenza biunivoca tra due classi di oggetti. E questi sistemi di numerazione possono essere poi evoluti in cordicelle con nodi e nell'abaco.

Più oltre dell'uso delle dita e delle conchiglie si può pensare a delle tacche fatte su dei bastoni, tacche che via via hanno avuto una qualche organizzazione fino ad arrivare alla scrittura ed alla differenziazione dei numeri. E' prevedibile però, prima del numero che è davvero un concetto molto complesso da conseguire, un passaggio attraverso tante aste per avere tante unità. Tutti voi avrete visto i disegni sulle mura di antiche celle: sulle pareti i giorni erano scanditi con quattro aste parallele e con una quinta asta tracciata obliquamente sulle prime quattro. In tal modo ogni blocco era 5 ed il sistema non prevedeva il contare innumerevoli aste ma tanti blocchi di cinque.

Ma vi doveva essere un altro problema. Quello che prevede, anche qui, una grossa astrazione nel passare da due mele, due pecore a due e basta. L'idea dell'esistenza di un numero indipendentemente dagli oggetti indicati. Tracce rupestri trovate mostrano sempre qualche simbolismo che può rappresentare un numero con un oggetto o animale a lato. Quel numero ha un senso solo se legato a cose concrete.  E noi non siamo in grado di cogliere questo momento di transizione all'astratto che pure c'è stato, anche se alcuni ritrovamenti archeologici (tavolette sumeriche di circa il 2500 a.C.) ci presentano dei problemi aritmetici svolti da classi di studenti. Ed un problema è già di per sé un'astrazione perché presenta una realtà comunque virtuale.

Dobbiamo quindi fare questo passaggio logico. Da una parte ipotizzare ciò che crediamo ragionevole sia stato elaborato dai nostri progenitori in secoli e secoli. Poi rifarci ai documenti storici ed ai ritrovamenti archeologici che ci fanno fare un grande salto verso di noi ed al massimo ci portano a 4000 anni a.C.

Cronologia matematica (http://www.itsosgadda.it/Fornovo/Didattica/matematica/mosaico_ITSOS_C/UD_05/05_01_lez.htm )

Tralascio la discussione del dove sia nata la matematica, essendo evidente una trasmissione possente di conoscenze, al seguito di commerci, tra Oriente e Medio Oriente. Sembra ormai accertato che lo sviluppo della nostra matematica sia avvenuto essenzialmente in quella terra felice che si trovava tra i fiumi Tigri ed Eufrate (in gran parte l'attuale Iraq), la Mesopotamia, abitata successivamente dai sumeri, la più grande civiltà del passato, dai babilonesi, dai caldei e dagli assiri (che inclusero altri territori, tra cui la Palestina, la Fenicia e la Siria, fino alle soglie dell'Egitto) (3).

L'impero assiro ( http://www.erin.utoronto.ca/~w3env100y/env/ENV100/hum/map.htm )

1-1 - L'EGITTO E LA MESOPOTAMIA

La matematica che oggi conosciamo, e tutti concordano con quanto dirò, nasce in Grecia intorno al 600 a.C. E' un insieme di fattori, non ultimi quelli economici di un benessere superiore raggiunto, che permette i tempi di una riflessione su questioni non immediatamente applicative. Permette cioè che sia possibile per una società mantenere alcune persone che, come mestiere, elaborano il pensiero. E la matematica non si sviluppa come ramo a sé, come entità separata dal progresso delle elaborazioni letterarie, filosofiche, architettoniche, ... E' un ramo del più generale sapere che cresce insieme e proprio a cominciare da quell'epoca.

Ciò non vuol dire, nel modo più assoluto, che prima vi fosse il deserto. Vi erano state anzi delle civiltà evolutissime che avevano elaborato molto, per quanto ci è dato sapere, nel pensiero pratico, applicativo. Due tra di esse emergono con prepotenza: quella egizia e quella mesopotamica (in tutte le sue varie successive denominazioni). La prima fondata essenzialmente sulla potenza che gli derivava da eserciti di schiavi e la seconda dalle ricchezze che derivavano da fiorenti commerci. E' da queste due civiltà che abbiamo ricevuto le prime e molto incomplete documentazioni scritte su un arco di tempo che copre ben oltre due millenni a.C.

E, proprio per quando dicevo poco fa, questa documentazione può nascere in quanto, ad un certo momento nacque la necessità di disporre di un calendario e di osservare quindi il cielo, sede di moti periodici regolari a cui riferirsi. I passi furono lunghissimi e sono quelli che ci portano dagli uomini primitivi a quelli riconoscibili in civiltà. L'aggregazione di uomini in una cultura, comporta imprese collettive che, ai primordi, potevano essere centrate intorno ad un tempio ed alla conservazione delle memorie, dei testi, delle scoperte. Abbiamo tracce della prima misura del tempo per registrare l'avanzare dell'anno solare, documentata con tacche su bastoni, nell'Egitto intorno al 4240 a.C. E sembra che tale abilità si avesse già in Mesopotamia  intorno al 5700 a.C. Di per certo, intorno al 3000 a.C ambedue le civiltà avevano città che ruotavano intorno ad un tempio che stabilisce una credenza metafisica codificata da una casta di sacerdoti depositari del sapere, della cultura e della conservazione dei documenti. A questo proposito c'è da osservare che i sacerdoti furono i primi matematici e questa eventualità è alla base della tradizione secolare che vede il matematico come conoscitore di cose sovrumane, di colui che mette insieme figure e magia dei numeri, ... Questo mito sopravvisse fin oltre il Rinascimento ed ebbe grande influenza sullo sviluppo della scienza. Un dato linguistico molto significativo è che la parola akkadiana (utilizzata nella regione di Accad nel paese sumero) usata nel significato di eseguire una somma era identica a quella usata nel significato di compiere un atto rituale. Ritornando al tema, si può  dire che nel 2000 a.C. le due civiltà avessero già raggiunto livelli culturali molto sofisticati come mostrano molti documenti ritrovati. Di questa epoca sono i principali documenti sulle conoscenze matematiche in quelle civiltà di cui disponiamo. A questo punto sorge il problema di capire cosa sia accaduto dal circa il 2000 a.C. fino a circa il 600 a.C. Non è plausibile pensare che la matematica si sia bloccata a quest'epoca per ben 1500 anni fino alla sua possente evoluzione in Grecia. Credo che manchiamo di molti documenti e che la storia che possiamo fare è profondamente lacunosa dovendo noi marciare a tentoni nel buio delle informazioni documentali. Secondo alcune dichiarazioni attribuite a Democrito, Talete, uno dei primi e più grandi matematici dell'antichità classica, avrebbe appreso la matematica viaggiando in Egitto.

Ma anche così stando le cose, certamente le conoscenze che discuteremo furono potenti fondamenta allo sviluppo teorico dell'architettura della matematica ellenica.

1.2 - L'EGITTO

L'Egitto, contrariamente alla Mesopotamia che risulta più aperta e più frammentata sia economicamente che politicamente, era un regno chiuso, estendentesi per 1000 Km, gli ultimi su 6000, lungo il fiume Nilo, circondato da deserti. Dopo le prime guerre e lotte intestine, l'Egitto risulterà formato da due regni, l'alto Egitto (una vallata di pochi chilometri di larghezza e lunga 800 km che va dalla Nubia all'inizio del delta del Nilo) con un clima torrido e secco ed il basso Egitto (l'intero delta del Nilo, un triangolo di 250 km di base sul Mediterraneo e 150 km di altezza verso l'interno) molto fertile e con un  clima temperato.

da: www.circolomaniago.it/circolo_maniago_i000116.jpg

Le attività fondamentali erano l'agricoltura, l'allevamento di vari tipi di bestiame e l'artigianato (ceramica, legno di palma, papiro, rame, bronzo, filatura e tessitura del lino, mentre in Mesopotamia era della lana). 

2 - MATEMATICA EGIZIA

Per le conoscenze che abbiamo la matematica sumera (che usava il sistema sessagesimale) è la matematica più avanzata dell'antichità, addirittura più avanzata per la sua raffinatezza di quella egizia (che usava generalmente il sistema decimale privo di zero ma con,  a volte, sottomultipli in sistemi settuagesimali o con, altre volte, multipli e sottomultipli espressi in frazioni). Proprio dai ritrovamenti archeologici risalenti addirittura a 4 millenni a.C. (sia per sumeri che per egizi), scopriamo che tra i primi sistemi di scrittura che incontriamo la parola ed il numero si presentano simultaneamente. Ambedue le civiltà partivano dallo studio di problemi pratici per l'elaborazione della loro matematica.

In Egitto si iniziò a sviluppare una geometria, quella scienza che etimologicamente significa "misura della terra" proprio per le esigenze pratiche di misure catastali. E' Erodoto (484-408?  a.C.) che ci narra un aneddoto in proposito (che è versione diversa da quella di altri storici, come Erone, Strabone, Proclo, ...). Il faraone Sesostri I, della XII dinastia (secondo millennio a. C.), aveva diviso la terra d'Egitto fra i cittadini in tante porzioni rettangolari uguali. Per tali terre ogni anno riscuoteva le imposte corrispondenti. Ma le inondazioni a volte danneggiavano alcune proprietà ed il faraone inviava i suoi ispettori per misurare la porzione di terra danneggiata, di modo che quel cittadino potesse pagare meno tasse. Alcune tra le altre versioni parlano di tasse variabili a seconda del terreno inondato e quindi reso più fertile. La scoperta dei nilometri - misuratori dei livelli di inondazione del Nilo - mostrerebbe che a maggiore crescita del fiume corrispondeva una maggiore porzione di terra inondata e quindi tasse più elevate. Altre versioni ancora parlano di inondazioni che cancellavano materialmente i limiti di proprietà che dovevano essere ricostituiti alla fine di esse.

Qualunque sia la versione corretta, si pone sempre un problema di misura di terra, un problema di geometria.

Abbiamo due documenti di estrema importanza sulla matematica egizia il primo dei quali, scoperto nel 1858, è il papiro Rhind (dal nome dell'antiquario scozzese che lo acquistò a Luxor), conosciuto anche come papiro Ahmes dal nome dello scriba (alto 33 cm e lungo 5,46 m), databile 1650 a.C., copia di altro papiro scritto tra il 2000 a.C. ed il 1800 a.C. e contenente 87 problemi matematici (4)  sulle quattro operazioni, sulle aree, sui volumi, ed altro, con particolare riguardo al problema delle parti decimali (le frazioni). I problemi applicano meccanicamente  alcune regole che non vengono spiegate. Sono quelle, si applicano e basta. Ciò non vuol dire che da qualche parte gli egiziani non avessero sviluppato una qualche teoria. Ma essa non ci è pervenuta. E' importante notare che questi papiri non sono in carattere geroglifico ma in carattere ieratico⁽¹⁰⁾.

Papiro Rhind, problemi 49-55 su triangoli, rettangoli, trapezi e cerchi (British Museum, Londra)

Papiro Rhind, problemi 56-60 sulle piramidi (British Museum, Londra).

Più in dettaglio vediamo di cosa si occupano i vari problemi del papiro, che sembrano degli esercizi pratici che i ragazzi dovevano risolvere, utilizzando la tavola che segue:

Insieme al papiro Rhind ve ne è un altro, anch'esso di interesse, il papiro di Mosca (alto 7,5 cm e lungo 5,5 m), comprato nel 1883 dal russo Goleniscev e risalente a circa il 1890 a.C., contiene 25 problemi, molti dei quali incomprensibili per i danni al papiro medesimo. Anche qui, fornisco in una tabella il contenuto dei

Papiro di Mosca (parte relativa al problema 14: calcolo del volume di un tronco di piramide) nell'originale, scritto in ieratico ⁽¹⁰⁾ con, in basso, la sua traduzione in geroglifico (Museo delle Belle Arti, Mosca)

problemi trattati nel papiro, osservando che anch'esso è in ieratico e non in geroglifico:

Tra questi problemi solo due sono d'interesse, il 10, dove si calcola l'area di una superficie che sembrerebbe (la figura non è chiara) un cesto o una semisfera, ed il 14 (quello di figura), dove si calcola il volume di un tronco di piramide.

3 - QUESTIONI ARITMETICHE NEL PAPIRO RHIND

3.1 - LE FRAZIONI

Vedremo ora più in dettaglio qualcuno dei problemi trattati nel papiro Rhind, iniziando da quelli di tipo aritmetico. Prima è però utile fornire il modo egizio di scrittura delle cifre (il modo popolare, quello geroglifico). Come si vede l'uno è rappresentato da una asticella e vi sono poi simboli speciali per indicare i vari

multipli del sistema decimale. Per scrivere numeri intermedi si dovevano combinare quelli ora visti, con l'avvertenza che il numero che si voleva era scritto da destra a sinistra. Da uno a nove si usavano solo asticelle, nel modo seguente:

                                                            |||

                          |||      |||      ||||      ||||        |||

|     ||    |||     ||||      ||       |||      |||      ||||        ||| 

1   2    3     4       5      6      7       8        9

Si può capire che solo quattro sono i simboli posti di seguito. Passando ad un numero superiore si dispongono i simboli prima su due righe poi su tre. Con quanto detto, si possono capire i numeri seguenti, il 24, il 25, il 59, il 75:

E queste, erano le cifre geroglifiche, vediamo ora quelle ieratiche che sono di maggiore interesse per gli sviluppi posteriori poiché molto più semplici e pronte per poter scrivere numeri diversi modificando la posizione della cifra:

Per confronto, presento anche il modo di scrivere le stesse cifre in differenti civiltà antiche:

Vediamo infine il modo di rappresentare le frazioni in Egitto osservando che quella specie di doppia ellisse, che spesso è anche una sola o anche solo un punto, che è al di sopra di ciascuna frazione (chiamata ro) rappresenta l'unità che sembra una schematizzazione dell'occhio di Horus, sotto il quale vi sono le cifre geroglifiche viste::

Nella scrittura ieratica, le cose vanno allo stesso modo, sostituendo la doppia ellissi con un punto e mettendo sotto di esso cifre ieratiche (nella scrittura geroglifica vi sono alcune eccezioni per la scrittura di 1/2, 2/3, 1/4, 3/4 che rispettivamente si rappresentavano nel modo seguente:

;     ;     ;   ;

mentre nella scrittura ieratica vi è la sola eccezione 2/3, rappresentata con . C'è solo da osservare che le frazioni erano ordinali e non cardinali. La frazione 1/3, ad esempio, era "parte 3".

Fin qui per le frazioni che hanno 1 al numeratore (a parte qualcuna diversa, accennata). Quando si aveva un numero diverso da 1 al numeratore, si trattava di ridurre quest'ultima frazione a somma delle prime (ma con addendi MAI uguali). Per scrivere, ad esempio, 2/5 non si usava 1/5 + 1/5  ma 1/3 + 1/15 (e non si usava neppure il segno + e le frazioni da sommare si scrivevano l'una dietro l'altra). Senza una regola generale, che non risulta gli egiziani avessero (compaiono solo soluzioni a casi particolari e regole di calcolo per calcoli già impostati), risultava molto complesso la semplice addizione tra frazioni e quindi disporre di frazioni con numeratore diverso da 1. Troviamo così nel papiro Rhind delle tabelle con i calcoli che servivano già fatti. Di seguito riporto la tavola che fornisce le frazioni con numeratore 2 e con denominatore tutti i numeri dispari dal 5 al 101. Per avere 2/5, ad esempio e come già detto, si deve sommare 1/3 + 1/15; per ottenere invece 2/29, occorre sommare 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232; ...

Vediamo ad esempio la rappresentazione geroglifica di 2/61 = 1/4 + 1/244 + 1/488 + 1/610

                              1/4            1/244                1/488              1/610

che è appunto la somma delle quattro frazioni precedenti. Era tutto empirico ? Difficile crederlo. Più probabile, pur senza alcuna prova, che questo fosse il metodo per insegnare ai giovani o il metodo per tabulare alcuni risultati, un poco come la nostra tabellina del moltiplicare.

E se il numeratore è superiore a 2 ?

Nel papiro Rhind l'operazione è sempre quella di riduzione di tali frazioni a somma di frazioni con numeratore 1 e numeratore 2. E, come si può capire, tale modo di operare è sempre più complesso e non mi soffermerò su di esso. Tale complessità è però alla base del mancato sviluppo in Egitto di una aritmetica e di un'algebra avanzate. Cosa che in parte accadde in Mesopotamia dove, contrariamente all'Egitto, si riuscì perfino a cogliere la natura dei numeri irrazionali.

Prima di concludere questo paragrafo è utile un cenno alla grande padronanza delle frazioni che vi era in Egitto. Essa deriva dal sistema economico e sociale dell'Egitto. Poiché la moneta venne introdotta molto tardi e le terre erano tutte di proprietà del faraone o dei sacerdoti, ogni scambio o suddivisione doveva far ricorso alle frazioni. E' anche per questo che, poiché in Egitto si aveva anche scambio di alimenti, si teneva conto del potere nutritivo di essi, a partire dalla materia prima con cui erano fatti (poiché con una unità di grano si possono fare o 80 o 100 pani, questi 80 e 100 si equivarranno). Allo stesso modo le differenze molto marcate di rango, portarono alle proporzioni che ebbero anch'esse un notevole sviluppo in Egitto.

3.2 - LE 4 OPERAZIONI

In linea di massima ogni operazione era ridotta ad una addizione, come del resto abbiamo visto per le divisioni rappresentate dalle frazioni.

Vediamo una semplice addizione come si svolge. Vogliamo fare 27 + 14:

    27   +   14  =               =   41             

A parte i simboli + ed = che non esistevano e da me aggiunti per comodità di lettura, c'è da osservare che il risultato è dato dalla messa insieme dei simboli che rappresentano gli addendi. Nel nostro caso, poiché si avrebbe a che fare con undici unità |, semplicemente a 10 unità | si sostituisce il suo simbolo ∩. A volte, per indicare che si procedeva a fare una addizione si utilizzava un simbolo che voleva significare una persona in avvicinamento

e che per la sottrazione diventava persona in allontanamento

Per la sottrazione, si  tolgono i simboli del sottraendo. Se vogliamo realizzare 27 - 14, si ha, senza ulteriori spiegazioni:

La moltiplicazione egizia si basa su una proprietà, probabilmente scoperta dagli egizi da qualche parte ma a noi non pervenuta, quella secondo cui qualunque numero naturale può essere espresso come somma di potenze di 2. In pratica, per moltiplicare si operavano successivi raddoppi o duplicazioni. Vediamo come si procede a voler moltiplicare n x m.

Si deve scrivere una tavola di 2 colonne ed n file. Ogni fila è ottenuta duplicando la precedente e quindi, per moltiplicare n x m, la prima fila avrà in una colonna 1 e nell'altra m; la seconda fila in una colonna 2 e nell'altra 2.m; la terza fila in una colonna 4 e nell'altra 2.2.m; la quarta fila in una colonna 8 e nell'altra 2.2.2.m; e così via:

1	m
2	m1 = 2.m
4	m2 = 2.m1 = 4.m
8	m3 = 2.m2  = 8.m
...	......
2k  (con 2k < m)	mk = 2.m(k-1) = ...

Il risultato dell'operazione n x m è piuttosto complesso ed è preferibile vederlo con un esempio numerico. Proviamo a moltiplicare 41 x 59 come nel papiro Rhind.

Abbiamo costruito la tavola e, nella prima colonna, ci siamo fermati a 32 (cioè a 2 elevato alla quinta); se avessimo proseguito avremmo avuto 64. Abbiamo questa regola: occorre fermarsi al primo numero che è immediatamente più piccolo del moltiplicatore che, nel nostro caso, è 59 < 64.

Si opera ora una sottrazione che permette di ottenere il moltiplicando 41 come somma del minor numero di addendi della colonna 1. Per farlo si toglie al 41 l'ultimo numero, 32, della colonna e si ottiene 9. A questo punto a 9 occorre sottrarre il numero maggiore possibile ancora della colonna 1, cioè 8. In tal modo si ottiene 1. A questo numero occorre sottrarre il massimo numero possibile ancora della colonna 1. E' solo 1 che fa annullare il tutto. Quando si arriva a questo punto abbiamo fatto e si ricapitola così:

41 - 32 = 9; 9 - 8 = 1; 1 - 1 = 0

Ciò vuol dire che il numero 41 è dato dall'ultimo numero della colonna 1, cioè 32, a cui occorre sommare i due numeri, ancora della colonna 1, trovati (cioè 8 ed 1):

41 = 32 + 8 + 1

Ed allora il prodotto cercato è la somma dei numeri delle caselle della seconda colonna corrispondenti ai numeri che costituiscono il 41:

41 x 59 = 1888 + 472 + 59 = 2419

che è il risultato che anche noi avremmo trovato, anche se, possiamo concordare, in modo molto più semplice.

In questo metodo si può semplificare l'operazione scegliendo come moltiplicando il più piccolo dei due fattori; in tal modo si riduce il numero delle potenze di 2 e quindi delle operazioni da fare.

Se la moltiplicazione si doveva fare per 10, 100, 1000, ... e così via, vi era il metodo semplice, dello spostamento di tutti i simboli una, due, tre, ... posizioni come mostrato di seguito.

Nella prima riga vi è la sequenza dei simboli 1, 10, 100, 1000, ....

Se moltiplichiamo 1 x 10, abbiamo 10, passiamo cioè da | a ∩e ci spostiamo di una posizione nella sequenza. Se dobbiamo moltiplicare 1 x 100, abbiamo 100 e ciò vuol dire che nella sequenza dobbiamo spostarci di due posti, ottenendo . Detto questo è semplice fare una moltiplicazione. Riporto un esempio (avvertendo che quei simboli x ed = non erano in uso in Egitto):

   x    = 

Per ciò che riguarda la divisione occorre invertire il procedimento di duplicazione e si raddoppia successivamente il divisore invece del moltiplicando. Le divisioni risultavano così approssimate perché il loro risultato era sempre una cifra intera o una frazione esatta. La domanda che veniva fatta nel papiro quando si doveva operare una divisione del tipo A/B era: fare calcoli con B in modo da ottenere A e ciò vuol dire che chi voleva, ad esempio, dividere 696 per 29, ragionava nel modo seguente. Partendo da 29, quante volte dovrei addizionare questo numero a se stesso per ottenere 696 ? E vediamo come operava. Si costruiscono le due colonne viste per la moltiplicazione:

    Nel papiro Rhind è anche trattata l'aritmetica delle frazioni che io tralascio.

Così come tralascio i problemi aritmetici che consistono, principalmente nella ripartizione di pagnotte di pane tra varie persone.

Se si paragona questa all'aritmetica mesopotamica, troviamo che questa è povera e che in particolare in essa manca quella che si potrebbe chiamare la mistica dei numeri, invece presente in Mesopotamia. Tale assenza di mistica, oltre alla difficoltà di scrittura dei numeri senza sistema posizionale, potrebbe aver impedito l'indagine sulle proprietà dei numeri al di là delle loro valenze pratiche.

3.3 - RISOLUZIONE DI PROBLEMI ALGEBRICI

I problemi algebrici sono di interesse perché si tratta di capire come gli egiziani risolvevano quelle che noi oggi chiamiamo equazioni.

Occorre subito dire che le nostre notazioni non esistevano. E tantomeno esisteva una differenziazione tra aritmetica ed algebra. Tutto rientrava nelle stesse abilità pratiche di calcolare un qualcosa che nasceva da un problema particolare. Quella cosa da cercare, che noi indichiamo con x, era chiamata in Egitto aha e si indicava con il simbolo seguente: che vuol dire mucchio. Il metodo usato è quello della falsa posizione ⁽⁵⁾ :

RISOLUZIONE DI PROBLEMI GEOMETRICI NEI DUE PAPIRI

La geometria egizia, come l'aritmetica, è pratica (si sospetta, senza prove, che i sacerdoti conoscessero le premesse teoriche di quanto realizzato in pratica). Dai vari problemi risolti, nei due papiri, gli egiziani sanno calcolare l'area del quadrato, del rettangolo, del trapezio, del triangolo (con qualche dubbio), del cerchio (con buona approssimazione), il volume del cubo, del parallelepipedo, della piramide, del tronco di piramide, del cilindro.

Non vi sono separazioni importanti tra aritmetica e geometria. I due tipi di problemi sono mescolati nei papiri e risolvere un problema geometrico era una applicazione di metodi aritmetici, non risultando teoremi specifici. Alcuni dubbi sulle loro capacità di calcolare certe aree nascono da difficili interpretazioni delle parole usate nei papiri e da disegni molto mal fatti che a volte pongono il problema di capire che area o che volume si sta calcolando. In ogni caso uno dei difetti di base che appaiono è la mancanza di distinzione tra soluzioni esatte e soluzioni approssimate.

Uno dei problemi del Rhind che incontriamo è relativo alla ricerca dell'area di un campo triangolare.

Problema 51. "Se ti si dice: un triangolo di dieci verghe⁽¹⁶⁾ di altezza (nel testo: meryt) e di quattro verghe alla base che superficie ha ? Tu risponderai nel modo seguente:

Prenderai la metà di 4, cioè 2, per farne il suo rettangolo o: un rettangolo). Moltiplicherai 10 per 2 e troverai la superficie.

Operazioni

Problema 14 del papiro di Mosca. Si chiede di calcolare l'area della figura, che sembra essere un trapezio isoscele, ma dal contesto si capisce che si vuole calcolare un tronco di piramide quadrangolare.

Intorno al disegno si possono vedere dei segni ieratici che forniscono le dimensioni. Nella parte superiore compare un 2, nella inferiore un 4 e dentro la figura un 56 e un 6. Lo svolgimento del problema fa capire che si sta calcolando il volume del tronco di una piramide quadrangolare di altezza 6 e basi superiori ed inferiori di 4 e 2. Seguiamo lo sviluppo:

- Elevare al quadrato 2 e 4
- Moltiplicare 2 per 4
- Sommare i risultati precedenti
- Moltiplicare il risultato ottenuto per un terzo di 6. Il risultato è 56.

Lo scriba termina dicendo: "Vedi, è 56; lo hai calcolato correttamente".  E questa frase mostrerebbe che il papiro Rhind non è altro che un quaderno di esercizi per uno studente. Se si dovessero ricavare le conoscenze matematiche della nostra epoca da un quaderno di uno studente di liceo scientifico, si direbbe che agli albori del 2000 siamo semianalfabeti in matematica.

Letto comunque il risultato ora dato, alla luce di quanto sappiamo oggi, è l'applicazione della formula che conosciamo per il volume di un tronco di piramide

V = h/3.(a² + b²  + ab)

formula che non compare nel papiro. Se facciamo b=0, come appare in un altro conto ad Edfu, si ottiene il volume di una piramide.

Il risultato trovato per il volume del tronco di piramide è notevole, neppure realizzato nella matematica classica. Questo risultato (come regola generale dimostrata) lo ritroviamo solo nel 1220 nella Geometria di Leonardo Pisano, cioè oltre 3000 anni dopo !

Gli storici non sono riusciti a comprendere in che modo si sia potuti arrivare a questo metodo di calcolo. Si ipotizza che gli egizi abbiano scomposto il tronco di piramide in parallelepipedi, prismi e piramidi, sostituendo successivamente prismi e piramidi con blocchi rettangolari di uguale dimensione (a proposito si può vedere Boyer alle pagine 23-25), ma non vi sono documenti in proposito.

Altro risultato notevole del papiro di Mosca è quello che ci offre il problema 10.