FISICA/MENTE

 

IL NOSTRO POSTO NELLO SPAZIO, NEL TEMPO ED ALTRO

Roberto Renzetti

            Inizio una carrellata divulgativa su alcune questioni fondamentali che ci riguardano molto da vicino ma sulle quali sappiamo generalmente poco.

Per farlo inizio da una frase di Kant che mi sembra ancora profondamente rispondente a quanto comunemente viviamo:

“I nostri sensi non ci ingannano, non perché giudichino sempre bene, ma perché non giudicano mai”

            E’ utile, per capire che tipo di valutazioni fanno i nostri sensi, nel mettersi in rapporto con il mondo circostante, fare degli esempi che clamorosamente fanno intravedere che tali sensi sono limitati o devono essere guidati.

 

Cosa vediamo?

 

            Riporto di seguito delle immagini, aggiungendo un piccolo commento a ciascuna.

 

 

L’ immagine data è un classico. Anche la domanda che segue è classica: cosa rappresenta l’immagine? Beh, se date una risposta avete messo a fuoco dei tratti fornendo voi un determinato ordine. Se infatti vedete una bella signora fine Ottocento rivolta verso la sua destra, avete stabilito delle corrispondenze tra la neutra immagine ed i vostri canoni interpretativi. Se, viceversa, nella foto vedete una vecchia che ha un nasone disegnato dalla leggiadra mandibola della signora di prima e che ha per bocca il collier della dama precedente, allora avete fornito, con i vostri sensi un’altra lettura dell’immagine che continua a restare la stessa.

Si può proseguire con altre immagini che possono essere lette in modo almeno duplice. Ne fornisco altre due scrivendo sotto di esse le due possibili letture.

 

 

              Antilopi rivolte verso destra o teste di uccelli con becchi aperti verso sinistra?

 

 

1°) Un viso ghignante o una persona che chiede l’elemosina?

2°) Una coppa o due persone che si guardano fissamente negli occhi?

 

 

Una signora o Clinton al sax?

 

 

 

Uno o due volti?

 

 

Un teschio o una signora allo specchio?

 

Vi sono poi altri tipi di immagini che ci forniscono una realtà deformata per disturbi che vengono creati alla nostra vista. Inizio con una di esse (illusione di Zellner):

 

 

 

Gli otto segmenti obliqui tracciati sono perfettamente paralleli, eppure quei trattini disegnati in quel modo “rompono” il nostro modo di interpretare e noi non vediamo parallelismi. Analogamente nelle figure seguenti, si tratta sempre di rette parallele che per differenti “disturbi” non lo sembrano.

 

 

(illusione di Hering)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Di seguito incontriamo altre immagini che interpretiamo in modo non corretto.

 

 

 

Due archi di circonferenza identici che non lo sembrano.

 

 

 

La trasversale che taglia quei “segmentoni” paralleli è una retta, anche se sembra spezzata (illusione di Poggendorf).

 

 

Le aree “occupate” dai segmenti delle due figure sono identiche ed anche la lunghezza di ogni singolo segmento è la stessa (illusione della “pipa”).

 

 

 

Il segmento ab ha la stessa lunghezza del segmento bc (illusione di Müller-Lier).

 

 

 

 

Anche le due aree disegnate qui sopra sono identiche.

 

Andiamo ora a “vedere” altri disturbi che la nostra vista può subire. Nelle figure seguenti abbiamo dei quadrati che non lo sembrano.

 

 

 

 

Nelle seguenti abbiamo dei cerchi concentrici che sembrano delle spirali.

 

 

 

 

In quest’altra delle circonferenze che sembrano ovali:

 

 

Ulteriori errori di nostra valutazione possono discendere da altri disturbi. Nella figura seguente, il cerchio appare deformato:

 

 

Nella seguente, appaiono dei pallini neri che non vi sono:

 

 

In quest’altra, le dimensioni degli omini, rigorosamente uguali, sono falsate da un effetto prospettico:

 

 

Di interesse sono anche le immagini che seguono. Nella prima, una serie di segmenti sembrano sistemati su di un piano ma, organizzati opportunamente, forniscono una immagine tridimensionale:

 

 

Nella seconda, il cubo è proteso in avanti o è rientrante?

 

 

Altri due disegni, proposti da J. D. Barrow, tentano un avvicinamento a come funziona l’elaborazione cerebrale dei dati sensoriali. Nel primo, formato da anelli di punti, concentrici ed ugualmente spaziati; con ogni anello che contiene lo stesso numero di punti ed i punti di anelli alternati sono allineati in senso radiale. Da una parte quindi esistono queste strutture precostituite, dall’altra l’occhio percepisce tre schemi dominanti: anelli concentrici in prossimità del centro; “petali” di grandezza crescente ad una certa distanza dal centro; linee rette radiali vicino al perimetro.

 

 

Nel secondo (“disegno di Marroquin”) è evidente un flusso continuo di configurazioni differenti. L’occhio tende  a ritrovare configurazioni circolari sempre più ampie che alla fine si dissolvono in più centri locali. Nel disegno vi è anche un’altra configurazione più sfuggente e che molti non riescono a vedere: una sorta di croce svizzera a dodici lati inscritta in ciascuno dei cerchi più grandi,

 

 

Un ultimo esempio di come l’occhio, il senso che per primo ci avvicina a conoscere,  reagisce proviene dalle due immagini seguenti (disegnate da Morgan Sendall per l'esperimento di Sheldrake attraverso la TV):

 

 

Ebbene è interessante scoprire cosa nascondono e, nel caso non si riuscisse nell’impresa, la soluzione è QUI.  

Perché tutta questa lunga premessa? Perché noi ci avviciniamo alla conoscenza del mondo esterno con i nostri sensi. Tali sensi, pur essendo eccellenti strumenti per la vita quotidiana, sono piuttosto grossolani e superficiali per indagare la natura con precisione sempre maggiore. Spesso accade ciò che, non a caso, è detto violare il senso comune. Non ci si deve stupire quindi se, ad indagini sempre più accurate, il mondo che ci è offerto da una prima “visione” cambia di immagine ed ha comportamenti diversi da quelli che sembrerebbero “sensati”.

 

 

In che limiti di variabilità delle grandezze note siamo immersi?

 

L’immagine seguente, utilizzata dall’astronomo francese C. Flammarion (1842-1925) per illustrare uno dei suoi libri, rappresenta in modo eccellente la voglia di conoscere dell’uomo, voglia che esplose in Europa durante il Rinascimento.

 

 

 

Da questa voglia con l’impegno e la fatica di generazioni di studiosi si sono messe insieme alcune conoscenze, certamente parziali e del tutto incomplete, che vale la pena di seguire.

Ognuno di noi occupa una posizione nello spazio fisico. Questo spazio è sempre inteso a tre dimensioni che vengono comunemente indicate con tre lettere dell’alfabeto x, y, z. Una terna di tre numeri, dopo aver stabilito un punto da dove si “conta”, determina una posizione nello spazio a tre dimensioni di un determinato punto P.

 

 

E’ proprio così? Gira la testa se si dice che siamo in uno spazio a quattro dimensioni? Proviamo a dire. E’ certamente vero che due oggetti non possono occupare nello stesso tempo lo stesso luogo. Ma come faccio a dire che in quel luogo ieri c’ero io ed oggi c’è un’altra persona? Se pensiamo un attimo, a quell’oggetto occorre associare un altro numero: l’istante, il tempo in cui esso si trova in un certo luogo. Se io allora dico: quel sedile a quell’ora ho individuato bene il tutto ed ho anche messo in mezzo la possibilità che quel sedile, ad altra ora, sia occupato da altra persona. Siamo quindi nella necessità di introdurre anche il tempo, per avere informazioni più complete su un mondo che cambia. Ed allora ci servono 4 numeri per parlare di un certo oggetto: i tre numeri che ci fornivano il luogo ed il numero che ci fornisce il tempo: x, y, x, t. Ma già qui ci troviamo in difficoltà per disegnare questa cosa. Non ne siamo capaci. Possiamo aiutarci con una immagine mentale: pensare quei tre assi rispettivamente perpendicolari appena disegnati, muoversi.

Queste quattro coordinate spazio-temporali, queste quattro variabili, ci permettono di seguire un dato avvenimento nel suo svolgersi temporale. Certo, sarebbe troppo ambiziosa una descrizione completa. Per ora ci accontentiamo della descrizione di un corpo semplice (una sferetta) in moto. Ed anche pensando solo a questo relativamente semplice evento, le cose non sono così facili perché vi sono altre cose che possono accadere, al passare del tempo. E’ possibile, ad esempio, che vari la pressione e/o la temperatura. Si capisce subito che ad ogni variabile corrisponderebbe un asse, una dimensione e più aumentiamo le variabili e più aumentano le dimensioni del mondo e più siamo in difficoltà a disegnarlo, a descriverlo, a raccontarlo. In questi casi si usa un artificio semplice ed utile. Si fa l’ipotesi che tutto il resto non cambi (almeno per un breve tempo) e si segue solo la variazione di una grandezza quando se ne modifica un’altra.

Vi è poi un’altra questione che ci deve far riflettere: quelle linee sulle quali prendiamo delle distanze o tempi o quel che volete, le posso allungare fino all’infinito? E che vuol dire infinito? E se non posso andare fino a quel fantomatico infinito, fino dove posso arrivare? I problemi sono enormi e su di essi la filosofia prima e la fisica dopo si sono cimentati per secoli. Il fatto è che la filosofia su queste cose può solo fare metafisica. E’ la fisica che deve tentare di trovare i limiti entro cui si muove l’uomo, limiti che riguardano ogni grandezza che si conosce e/o che si vuole conoscere.

Facciamo esempi di grandezze che ormai dovrebbero essere patrimonio di tutti: la temperatura (T) e la velocità. La fisica ha a tutt’oggi (non userò più quest’ espressione, sarà scontato che le conoscenze scientifiche sono sempre provvisorie) individuato dei limiti per esse (non si va al di sotto di – 273 °C che è la temperatura  che si chiama zero assoluto o Kelvin, 0 °K; non si supera la velocità della luce che è di 300.000 Km/s). Per altre grandezze, come la pressione, non sappiamo nulla di loro limiti. Ciò vuol dire che partiamo da uno zero e, in teoria, andiamo fino all’infinito. Ma qual è l’ambito di variabilità di tali grandezze che riguarda la nostra vita quotidiana? Con abbondante approssimazione, si può dire che, a regime, noi viviamo tra i  - 60 °C (213 °K) ed i + 60 °C (333 °K). Per la pressione, credo si possa dire che la nostra vita si svolge tra la mezza atmosfera e l’atmosfera e mezza. Se mettiamo questi valori su di un piano pressione-temperatura (P,T), scopriamo che noi ci muoviamo in un ambito limitatissimo.

 

 

Se solo si pensa che vi sono luoghi in cui l’aria è solida ed altri in cui il ferro è allo stato di vapore, ci si rende conto della precarietà estrema della nostra situazione: in quell’ambito, piccolissimo, fuori del quale è la fine.

Ma vediamo le lunghezze che in qualche modo dominiamo, riusciamo a comprendere davvero. Disegno su di un solo asse la situazione.

 

 

Dico a parole ciò che ho rappresentato. Noi abbiamo la possibilità di controllare con i nostri sensi grandezze che vanno da un ordine di grandezza del millimetro ad un ordine di grandezza del chilometro. Noi non siamo in grado di capire, se non in modo forzatissimo, cosa sono i 100 chilometri o cosa è il millesimo di millimetro. Se poi scendiamo a lunghezze che sono più piccole del decimiliardesimo di metro, allora anche le leggi che regolano il nostro mondo macroscopico, debbono essere modificate e, da quelle parti, non vale più la fisica classica, quella di Newton, ma occorrono modifiche sostanziali che sono state introdotte nella fisica all’inizio del ‘900, con l’elaborazione della fisica dei Quanti. Sulle lunghezze e quindi distanze molto grandi, a livello cosmologico, tornerò più oltre.

Passo ora alla velocità. Seguo lo stesso metodo: rappresento e poi discuto in breve.

 

 

Un centometrista, l’uomo più veloce del mondo, si avvicina ai 10 m/s, cioè ad un centesimo di chilometro al secondo. Andare a 10 km/sec equivale alla velocità raggiunta dall’astronave andata sulla Luna, circa 36.000 Km/h! La velocità di un caccia moltiplicata per 10. Fuori da qui noi non sappiamo pensare altre velocità. Per velocità che invece ci offre la natura dobbiamo prendere atto di quel limite di cui dicevo. E per velocità vicine a quel limite, anche qui, le descrizioni che possiamo dare del mondo non tornano più con la fisica di Newton. Si è dovuta elaborare una nuova fisica, sempre agli inizi del ‘900, la Relatività ristretta.

Solo su un’altra grandezza mi soffermo. Anche qui per far intendere i limiti che abbiamo. Parlo della frequenza, del mondo delle onde che ci circondano. Rappresentiamo e discutiamo in breve.

 

 

In quel piccolo intervallo di frequenze (mi riferisco sempre ad ordini di grandezza) la gran parte di noi riesce a sentire. In un ancora più piccolo intervallo riusciamo a vedere. Ciò vuol dire che siamo ciechi e sordi! Un universo pieno di segnali, pieno di informazioni, … e noi in cerca di strumenti per tentare di cogliere qualche briciola!

 

 

L’adattabilità della vita

 

 

Si sa che la selezione naturale può indirizzare lo sviluppo della vita in modo tale da renderlo strettamente adeguato al proprio ambiente e da farlo cambiare con i cambiamenti dell’ambiente, se questi non hanno luogo troppo rapidamente.

Si pone, a questo punto, una domanda importante: fino a che punto le condizioni necessarie alla vita sulla Terra sono semplicemente un riflesso delle condizioni in cui si è sviluppata la vita terrestre? E fino a che punto sono indispensabili per qualsiasi forma di vita ? Siamo in grado, insomma, di stabilire qualche limite alle possibilità della selezione naturale di adattare la vita alle diverse condizioni ?

Sappiamo con certezza che le forme di vita più altamente sviluppate tendono ad essere più sensibili ai cambiamenti delle condizioni esterne in quanto sistemi chimico-fisici più complessi. Le forme di vita più semplici invece, anche sulla Terra, possono adattarsi alle condizioni più avverse:

-                          l’ossigeno libero nell’atmosfera non è affatto necessario alla vita di alcuni muschi ed alcune alghe;

-                          ad alcuni batteri che vivono in pozzi petroliferi ad oltre 4.000 metri di profondità non sembra necessaria la luce del Sole;

-                          il bacillo Boracicola vive a circa 90 °C in una soluzione al 10% di acido solforico mostrando disinteresse per temperatura ed acidità;

-                          altri batteri vivono nel cloruro di mercurio, potente veleno per qualsiasi altra forma di vita sulla Terra;

-                          certe muffe e certi batteri possono vivere a 3.000 atmosfere, con completo disinteresse per una pressione che stritolerebbe una portaerei;

-                          addirittura il lievito può vivere fino ad 8.000 atmosfere;

-                          a pressioni quasi nulle, ad altissime quote nell’atmosfera (22.000 metri),vivonoaltri batteri;

-                          spore e semi vivono patentemente nel vuoto mostrando che anche questa cosa non crea problemi.

Possiamo concludere come abbiamo iniziato: più elevata è la temperatura, più elevata la probabilità che molecole complesse si scindano e ciò sembra porre un limite superiore di temperatura per organismi viventi complessi; quando la temperatura si abbassa, c’è uno scotto da pagare: più la temperatura scende, più diminuisce la velocità delle reazioni chimiche, ed una “vita” a bassa temperatura sarebbe assai più “lenta” della vita terrestre [dove è scritto che la vita media deve aggirarsi sui 70 anni?].

            Noi esseri umani siamo comunque abituati a vedere le cose dal nostro punto di vista. E’ evidente, ad esempio, che l’acqua sul pianeta Terra ha giocato un ruolo fondamentale. Ma altrove? Quanto qui detto mostra che noi umani ci serviamo sempre di un principio antropico, nelle sue formulazioni debole e forte.

 

Principio antropico debole

 

In un universo che è grande o infinito nello spazio e/o nel tempo, le condizioni necessarie per lo sviluppo di vita intelligente si troveranno solo in certe regioni limitate nel tempo e nello spazio. Gli esseri intelligenti di queste regioni non devono sorprendersi se osservano che il loro posto nell’universo soddisfa le condizioni necessarie alla loro esistenza [è come un ricco tra ricchi che non si accorge dei poveri]. Un esempio di questo principio antropico debole è il Big Bang. Esso sarebbe avvenuto un miliardo (109) di anni fa perché questo è il tempo approssimativamente necessario allo sviluppo di esseri intelligenti.

 

Principio antropico forte

 

            Solo in mondi con le stesse condizioni del nostro si può sviluppare vita intelligente e gli esseri intelligenti di questi mondi si chiederebbero: perché l’universo è come lo vediamo? La risposta è semplice: se fosse stato differente noi non saremmo qui.

 

E’ da notare che su queste cose non discutono solo dei filosofi, ma fior fiore di fisici.

 

 

L’universo in primissima approssimazione (spazio geometrico e fisico)

 

 

Noi tutti ci troviamo su un pianeta, la Terra. Più o meno possiamo capire quanto essa sia grande. Essa ha una circonferenza massima di circa 40.000 Km. Con un aereo di linea che viaggi alle velocità medie di tali aerei, ci vorrebbero 2 giorni a fare il suo giro completo. E’ una grandezza che “comprendiamo” e non è al di fuori della nostra portata (non parlo, naturalmente, di economia).

La Terra ha un raggio di 6.500 km. Le terre emerse sono circa il 30%. Le profondità massime come le montagne più alte si aggirano sui 10 Km. Anche l’atmosfera ha mediamente una tale altezza dal livello del mare, ma già a 10 Km di quota l’uomo non avrebbe ossigeno sufficiente.

La vita dell’uomo è localizzata in quella ristrettissima buccia che è l’atmosfera. Se la Terra la pensiamo grande come un pallone che ha il diametro di un metro, l’atmosfera sarebbe spessa come un foglio di carta poggiato sopra tale pallone. Incredibile, eh? Eppure siamo lì dentro! Inoltre noi non utilizziamo tutto quell’”enorme” spessore del foglio di carta: solo un centesimo di esso.

Prima di continuare è utile introdurre una semplicissima notazione matematica, le potenze di 10, un semplice concetto di metrologia ed un semplice concetto di “fisica”.

I numeri si possono dare come potenze di 10. Se io voglio dire 1, dirò 10°, se voglio dire 10 dirò 101, se voglio dire 100 dirò 102, se 1.000 dirò 103, … e così via. In pratica il numeretto che è in alto a destra di 10 mi dice quanti zeri dovrò mettere dopo l’uno. Avverto che questi numeretti sembrano innocui, ma se ben compresi, fanno paura. Dire per esempio 1089 è piuttosto facile ma se dicessi che questo numero rappresenta il numero di atomi stimati costituire l’intero universo, allora cominciamo ad intendere quanto in modo semplice riesco a scrivere, piuttosto che mettere un uno seguito da 89 zeri (quasi una intera riga di questo scritto). La parte metrologica prevede l’affermare che l’unità di lunghezza riconosciuta internazionalmente è il metro (con i suoi sottomultipli, multipli ed unità semplificative – come vedremo -). La parte “fisica” afferma semplicemente che noi ci occuperemo di ordini di grandezza che sono appunto quelli che procedono per potenze di 10 dell’unità (nel nostro caso) metro. Per intenderci l’uomo ha un’altezza inferiore ai due metri e molto minore ai 10 metri, il suo ordine di grandezza sarà il metro, 10° metri; una casa ha come ordine di grandezza 101 metri, un grattacielo ha un ordine di grandezza  compreso tra 102 e 103 metri (se andranno in porto i megaprogetti di cui si discute); una montagna tra 103 e 104 metri; …. ; il raggio della Terra (i 6.500 Km di cui prima) ha un ordine di grandezza di 107 metri; la distanza Terra-Luna ha un ordine di grandezza di 108 metri; la distanza Terra-Sole è di 1011 metri; …. (come si può vedere i numeretti in alto a destra si mantengono piccoli, ma già stanno descrivendo distanze gigantesche).

Ritorniamo sulla Terra. Essa ruota intorno al Sole ad una distanza media di 150 milioni di chilometri. Qual è il rapporto tra i volumi di questi due oggetti? Vediamolo con un paragone ed un disegno. Se la Terra fosse grande come una capocchia di spillo, alla stessa scala, il Sole sarebbe una sfera di 15 cm di diametro e si troverebbe a 15 metri di distanza.

 

 

Ancora alla medesima scala, la stella più vicina avrebbe il diametro di 15 cm e disterebbe 3.000 Km.

            Fornisco alcuni dati che quantificano il sistema solare:

 

- Diametro della Terra                                 13.000 Km

- Diametro del Sole                                 1.400.000 Km

- Diametro orbita della Terra              300.000.000 Km

- Diametro orbita di Marte                  450.000.000 Km

- …………………………                  ...………………..

- Diametro orbita di Plutone           11.800.000.000 Km

 

            E’ utile ora introdurre una unità di misura di lunghezza di estrema importanza: l’anno luce.

Si tratta della distanza che la luce percorre in un anno. La luce (nel vuoto) ha la più elevata velocità nota: essa viaggia a 300.000 chilometri al secondo (ogni secondo essa sarebbe in grado di fare 8 volte il giro della Terra all’Equatore), moltiplicando questo numero per 60 si ha il minuto luce (la distanza percorsa dalla luce in un minuto), moltiplicando ancora per 60 si ha l’ora luce, moltiplicando ancora per 24 si ha il giorno luce, moltiplicando ancora per 365 si ha l’anno luce. Facendo tutte queste moltiplicazioni si trova che un anno luce vale circa 9.000.000.000.000 Km, cioè un ordine di grandezza di 1015 metri.

            Con questa nuova unità, indispensabile per trattare con numeri grandi, come quelli che incontriamo nell’universo, quanto impiega la luce dal Sole ad arrivare sulla Terra? Otto minuti.

Quando al mattino vediamo il Sole levarsi all’orizzonte, esso si è già levato da 8 minuti. Noi vediamo il Sole di otto minuti prima. In teoria, se fosse esploso dopo essersi levato, continueremmo a vederlo ancora intatto per otto minuti.

            Disegnamoci ora il diametro del sistema solare:

 

 

si vede subito che la luce del Sole impiega 7 ore per raggiungere Plutone e impiegherebbe 14 ore per percorrere l’intero sistema solare.

            E questo Sole, quanto è grande? Ed il sistema solare? Insomma, con che grandezze abbiamo a che fare?

            Mettiamo un puntino al centro delle circonferenze seguenti ed abbiamo il Sole:

 

 

la circonferenza tratteggiata più interna rappresenta l’orbita di Marte; quella seguente a tratto continuo le dimensioni della stella Mira; la linea tratteggiata successiva, le dimensioni della stella Betelgeuse; l’ultima, a tratto continuo, le dimensioni della stella gigante Orione. Anche qui uno inizia a perdersi se solo si ricorda che siamo confinati dentro quella piccola parte di buccia atmosferica.

            Ed il nostro sistema solare dove è localizzato, nell’universo? Nella nostra galassia (la Via lattea). Vediamolo con due disegni schematici:

 

 

 

Il primo disegno schematizza la nostra galassia vista in sezione con le sue  dimensioni approssimate. Il secondo mostra la galassia vista dall’alto (o dal basso). In ambedue i disegni figura il sistema solare, una cosa minuscola, microscopica, ai bordi della spirale, nella sua parte fossile, morente. Inoltre: il Sole gira intorno al centro della galassia  con un periodo di 250.000.000 di anni e con una velocità di 200 chilometri al secondo. La stella più vicina al Sole, nella galassia, è Proxima Centauri che si trova solo a 4,26 anni luce. Per arrivarci, con le astronavi più potenti mai realizzate o pensabili, ci vorrebbero circa 100.000 anni.

Il diametro della galassia è 60.000.000 di volte più grande di quello del sistema solare (se la galassia fosse lunga come l’Italia – 1.100 Km – il sistema solare sarebbe grande come un seme di zucca – 1,5 cm -). In essa vi sono circa due miliardi di stelle (ad occhio nudo se ne vedono circa 6.000). La massa della galassia è molto piccola, 10-27 kg/cm3 (prevale di gran lunga il vuoto sulla materia), essa è pari a 100 miliardi di volte quella del Sole: Ciò equivale a circa 1 o 2 neutroni (o protoni) per ogni centimetro cubo o ad un atomo di idrogeno ogni centimetro cubo. Per capire di cosa si parla si tenga conto che in ogni centimetro cubo di gas idrogeno, sulla Terra, vi sono circa 6.1023 atomi (600.000.000.000.000.000.000.000 atomi!!!).

Intorno alla galassia vi sono circa 200 ammassi stellari o ammassi globulari  (si può arrivare a circa 100.000 stelle per ognuno).

E fino qui siamo nella “miseria” della nostra galassia con qualche periferia. Il fatto è che anche le galassie si raggruppano in ammassi. La nostra galassia fa parte di un ammasso di circa una ventina di esse situate entro un raggio di circa 4 milioni di anni luce dalla nostra. Il nome di questo ammasso è Gruppo Locale. Tra queste galassie vi è quella di Andromeda che è la più vicina alla nostra, circa 1,5 milioni di anni luce. La prima galassia, dopo quelle del Gruppo Locale, più vicina a noi è quella della Vergine (ammasso di circa 100 galassie). Essa dista circa 30 milioni di anni luce.

A tutt’oggi si conoscono oltre 100.000.000 di galassie che distano mediamente tra loro circa 50 volte il loro diametro medio. Gli ammassi di galassie distano da noi anche svariati miliardi di anni luce. Ad esempio il quasar OH 471 è stato osservato a 12 miliardi di anni luce.

Nell’ammasso della Chioma di Berenice vi sono circa 1.000 galassie che si estendono per 100 milioni di anni luce. Quest’ammasso dista da noi 300 milioni di anni luce. Ercole, che dista da noi 500 milioni di anni luce, è l’ammasso che sembra essere il più grande fino ad ora osservato.

Nell’ammasso di Perseo e Pesci vi sono svariati ammassi più piccoli (A 426, A 347, A 262, NGC 383, NGC 507) che sono allineati in modo da formare una sorta di filamento leggermente curvo. Ci troviamo a 200 milioni di anni luce.

Nell’ammasso di Perseo e Petaso, vari ammassi più piccoli (20) formano un filamento a forma di serpente che si estende per un miliardo di anni luce.

Su questo si potrebbe continuare per migliaia di pagine. Vi sono altri argomenti da aggiungere con caratteri differenti: le galassie si allontanano l’una dall’altra ad una velocità media di circa 1.100 chilometri al secondo.

 

 

 In proposito vale la legge di Hubble: le galassie si allontanano tra loro ad una velocità direttamente proporzionale alle distanze che le separano. Il grafico seguente illustra la situazione: più le galassie sono lontane più sono dotate di elevata velocità.

 

 

            Da questa cosa si può fare un conto a ritroso. Percorrendo “a marcia indietro” il cammino delle galassie, si può tentare di capire qual è stato il passato e datare l’ipotetica origine dell’universo (ultimamente l’ipotesi del big-bang ha perso forza e si sta tentando di capire cosa mettere al suo posto).

Il riassunto schematico di quanto detto è angosciante e lo si può intuire dalle figure seguenti:

 

 

In questa prima, al centro vi è la nostra galassia. Sono poi state tracciate delle circonferenze di raggi 400.000 anni luce e 1.500.000 anni luce (ridotte in scala a 2 cm e 7,5 cm). Dentro di esse vi sono gli oggetti spaziali più importanti (i punti rappresentano delle stelle o dei gruppi di stelle mentre le spirali rappresentano delle galassie). Vediamo ora la seconda figura.

 

 

 

Questa figura è disegnata con una scala 300 volte più piccola della precedente. Qui vi sono delle circonferenze di raggi 300.000.000 di anni luce e 600.000.000 di anni luce (ridotte in scala a 5 cm e 10 cm). Il punto di intersezione della crocetta che vi è al centro rappresenta la prima figura! Ora un piccolo punto rappresenta un cumulo di meno di 50 galassie mentre un punto più grande rappresenta un ammasso di più di 50 galassie.

Cosa c’è oltre un raggio di 600.000.000 di anni luce dalla nostra galassia? Ancora moltissime cose che quotidianamente vengono osservate con sistemi diversi e sempre più sofisticati (abbiamo già detto che si sono osservati oggetti a 12 miliardi di anni luce, distanza che rappresenta una circonferenza con un raggio dalla nostra galassia 20 volte superiore all’ultima circonferenza che abbiamo considerato nella seconda figura).

Adesso si faccia l’operazione mentale di ritornare all’uomo, in questo infinitesimo di universo che è la buccia atmosferica in cui vive. Ci si renderà conto della sua effimera esistenza.

Se facciamo considerazioni sul tempo, a questo punto le cose non possono essere che semplicissime. Da quel ritorno indietro di cui si parlava a proposito della legge di Hubble, si stima una vita dell’universo materiale in 15 o 20 miliardi di anni. Basta. Cosa c’era prima? Non è dato per ora saperlo. Il tempo continuerà a scorrere come fino ad ora? Non è dato per ora saperlo. Questi sono i confini della nostra conoscenza attuale nell’ambito delle teorie fisiche accettate comunemente. E, si deve tener conto che tali teorie nascono con l’uomo al centro dell’indagine.

Ora facciamo il seguente esercizio: andiamo in una porticina laterale che immette nella basilica di San Pietro. La porta è chiusa e noi possiamo vedere solo un infinitesimo di tale meraviglia complessa. Da questo poco che vediamo pretendiamo di descrivere la basilica, con tutti i pregiudizi che ci portiamo dietro. Siamo presuntuosi ma questa sfida è quella che ci fa crescere nella conoscenza.

 

 

Che “forma” ha questo spazio? E che senso ha parlare di forma? (una breve rassegna storica).

 

 

Da sempre l’uomo ha tentato di capire che posto occupasse nello spazio e come fosse tale spazio. Lo spazio prima piatto, poi finito, poi chiuso, a forma di semisfera, poi di sfera, poi a forma di tabernacolo, …, poi interminato, poi infinito, quindi curvo. Ecco, il problema della sua infinità è stato quello più dibattuto nell’epoca d’oro della filosofia classica. Uno dei più autorevoli pensatori dell’antichità classica, Aristotele, la cui influenza durerà per oltre 2.000 anni, limitava il mondo in una sfera (quella delle stelle fisse) che, a conti fatti successivamente, risultava estremamente piccola. Nessuno modificò ciò fino a Copernico che ampliò il mondo di circa 2.000 volte. Restavamo comunque con un mondo limitato da una sfera e piccolo. Il primo che si fece propagandatore per tutta Europa di un mondo infinito fu Giordano Bruno. Le sue idee furono riprese con timore solo più tardi e comunque nel Nord Europa, lontani dall’influenza della Chiesa di Roma. Lo stesso Galileo, molto legato alla laicità della ricerca scientifica, non aveva elementi per parlare di infinità del mondo. Egli, pur non considerandolo più racchiuso in una sfera, lo definiva interminato. Le definizioni più contundenti e apparentemente definitive di spazio e tempo vennero da Newton. Lo spazio, definito assoluto, deve essere inteso come infinito nelle tre dimensioni (come un cubo le cui dimensioni crescono tutte all’infinito). Esso è  immobile ed indifferente a ciò che vi accade. E’ un poco lo spazio geometrico di Euclide che fa da teatro dentro cui si svolgono i fatti dell’universo. Per quel che riguarda il tempo invece si afferma che vi è un tempo assoluto che scorre uniformemente allo stesso modo in qualsiasi parte dell’universo. Qui c’è della metafisica che subentra nella descrizione del mondo fisico. Questo spazio non è una entità sperimentabile: è una pura costruzione mentale che sovrappone due oggetti in sé differenti: lo spazio matematico e quello fisico. In tal senso è ancora da ricordare la modernità di Galileo che non si faceva trasportare nell’osservazione della natura da emozioni metafisiche.

Tra le altre, alcune critiche importanti alle affermazioni di Newton, vennero da Berkeley. Egli rifiuta il concetto di spazio assoluto, affermando che di esso non vi è necessità. I moti e gli altri fenomeni si possono ben riferire alle stelle fisse (non più intese su di una sfera!) che sono entità fisiche. L’autorità di Newton non fu neppure sfiorata. Per almeno 100 anni le sue concezioni del mondo furono universalmente accettate.

Sul finire del Settecento, Kant iniziò una critica di interesse alle concezioni newtoniane. Egli definisce spazio e tempo in modo diverso dagli altri “oggetti” della fisica: essi sono considerati come puri prodotti dell’intelletto dei quali ci serviamo per coordinare i dati della realtà esterna. Si tratta di forme soggettive dei fenomeni (tutti gli oggetti di una esperienza possibile) che, tra l’altro, ci appaiono non per quello che sono ma per come li vediamo (si ricordi quanto dicevamo all’inizio di questo lavoro). L’influenza di Kant, unita all’emergere del Romanticismo (tenendo da una parte le bestialità di Hegel in proposito), fecero da substrato sul quale, durante tutto l’Ottocento, si elaborarono concezioni di spazio e di universo sempre più differenti dall’approccio newtoniano.

Intanto fu la matematica a affondare una critica al suo spazio, a quello euclideo.

 

 

Le geometrie non-euclidee

 

          Il quinto postulato di Euclide, nella forma datagli da Proclo (5° secolo d. C), così recita:

 "Per un punto non giacente su una retta passa, nel loro piano, una sola parallela ad essa".

          Per secoli ci si era impegnati a trovare una qualche dimostrazione di questo postulato finché, agli inizi dell' 800, si riuscì a provare l'impossibilità di dimostrarlo.  Coloro che dettero il più rilevante contributo a questa impresa furono il matematico ungherese Janos Bolyai (1802 - 1860) ed il matematico russo Nikolaj I. Lobacevskij (1793-1853) negli anni che vanno dal 1823 al 1855 [il primo che provò a trarre le conseguenze della negazione del 5° postulato fu il matematico italiano G. Saccheri (1677 - 1733) nel 1733. Si noti inoltre che già Gauss (1777 - 1855) aveva elaborato studi molto avanzati nella costruzione di geometrie che partissero dalla negazione del 5° postulato, ma non li pubblicò]. Alla geometria da loro indipendentemente costruita si dà il nome di geometria iperbolica. Questa geometria è una delle possibili geometrie non-euclidee, nel senso che viene costruita a partire dalla sostituzione del quinto postulato di Euclide con quest'altro:

"Tutte le linee rette poste in un piano ed irradiantesi da un punto possono, in rapporto ad ogni altra retta del piano, essere divise in due classi: quelle che intersecano e quelle che non intersecano l'altra retta considerata. La linea che separa le due classi dicesi parallela alla retta, data."

          La figura 1 può servire ad illustrare il postulato. Secondo la geometria euclidea, r' (perpendicolare alla perpendicolare tracciata per P alla retta r) è l'unica parallela alla retta r. Secondo la geometria iperbolica tra le rette del fascio per P ve ne sono due, h e k, che separano

Figura 1

 

le rette che vanno a secare r da quelle che non vanno a secare r. Queste due sono rette parallele alla retta r passanti per il punto P. Si noti che queste rette hanno ciascuna un suo verso di parallelismo: k ha verso destro mentre h ha verso sinistro. Si noti inoltre che anche tutte le rette comprese nell'angolo a  (e sempre passanti per P) non sono secanti la retta r. E' evidente che il parallelismo (nel verso destro) di k con r, come il parallelismo (nel verso sinistro) di h con r, è asintotico. Gli angoli b di figura, sono chiamati angoli di parallelismo. Ora, caratteristica della geometria iperbolica, è che l'angolo a è acuto (in quella euclidea era retto). Si vengono quindi a modificare quelle conclusioni della geometria euclidea che discendevano dal postulato delle parallele. In particolare risulta ora che la somma degli angoli interni di un dato triangolo non è più uguale a due angoli retti ma è minore di questa quantità (vedremo tra breve - figura 3 - dei disegni illustrativi di un tal triangolo e degli altri possibili). Per concludere su questa geometria occorre dire che tanto per Bolyai che per Lobacevskij la geometria euclidea si ottiene come caso limite della geometria iperbolica quando ci si riferisca al ristretto spazio nel quale sulla Terra si svolgono le nostre esperienze.

           Su strade diverse, ma sempre non-euclidee, si mosse, qualche anno più tardi, il matematico tedesco Bernhard Riemann (1826 - 1866). Nello sviluppare una geometria differenziale egli ebbe modo di introdurre un nuovo tipo di geometria non-euclidea (il lavoro è del 1854 ma fu pubblicato postumo nel 1868). I postulati fondamentali introdotti da Riemann, in luogo del quinto di Euclide, sono due:

 1) La retta è una linea finita chiusa.

 2) Per un punto non passa alcuna parallela ad una retta data.

          A partire da queste due affermazioni Riemann sviluppò la sua geometria che prende il nome di geometria ellittica. Nell'elaborare la sua grande impresa, Riemann dovette attaccare anche un altro dei postulati di Euclide, quello che afferma che  per due punti si può condurre una sola retta. Per capire quanto qui sostenuto occorre dire che la geometria di Riemann è relativa a superfici con curvatura costante (vedi più avanti). Una di queste superfici è certamente la sfera alla quale ci riferiremo. Pensiamo una circonferenza tracciata su una sfera di raggio infinito: abbiamo una retta in senso euclideo. Riducendo il raggio di questa sfera ci troviamo nelle condizioni di Riemann ed una circonferenza su di una sfera di raggio finito è una retta nel senso di Riemann. Su una sfera, quindi, per due punti si può  far passare una retta ed una sola (una circonferenza nell'accezione Euclidea). Ma se questi punti si trovano agli estremi di un diametro della sfera per essi possono passare infinite rette. Una conseguenza della geometria ellittica è che, sempre riferendoci al nostro esempio della sfera, la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di due angoli retti. Per capire quest'ultima affermazione, anche per confronto con la geometria euclidea e quella iperbolica, riferiamoci alla figura 2. Nella figura 2 a è rappresentato un piano euclideo che ha una curvatura

Figura 2

nulla e di conseguenza la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due angoli retti (geometria euclidea). Nella figura 2 b è rappresentata una. sfera, superficie a curvatura costante positiva, sulla quale la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di due angoli retti (geometria ellittica). Nella figura 2 c è rappresentata una superficie a sella, superficie che non ha curvatura costante e che, anzi, ha una curvatura negativa, sulla quale la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di due angoli retti (geometria iperbolica; si noti a margine che la rappresentatività di questa geometria fu dimostrata per la prima volta dal matematico italiano E. Beltrami - 1835/1900 - nel 1868).

          Già che abbiamo iniziato a confrontare con disegni le tre geometrie in oggetto, facciamo ancora dei confronti. Pensiamo ad esempio ai triangoli simili della geometria euclidea. Sempre aiutandoci con la figura 2, si può vedere che, nel caso euclideo (a) si può parlare di triangoli simili; nel caso ellittico (b) la somma degli angoli interni di un triangolo risulta più grande quanto più grande è il triangolo; nel caso iperbolico (e) la somma degli angoli interni di un triangolo diventa sempre più piccola quanto più il triangolo ingrandisce.  Riguardo alla questione che più direttamente riguarda il quinto postulato con quelli che lo hanno sostituito, si può vedere figura 3.  

  Figura 3

          Nel caso euclideo (a) vi e' una sola retta, parallela alla data, passante per un punto P esterno ad essa; nel caso ellittico (b), se si vuo trovare la parallela all'arco di circonferenza passante per i punti A e B e passante per i punti C e B (ambedue equidistanti dall'arco di circonferenaa passante per A e B) si deve tener conto che per C e D non può passare una retta nel senso euclideo ma solo un arco di circonferenza o geodetica) che necessariamente andrà ad intersecare il nostro arco passante per A e B (si noti che la linea tratteggiata sta sulla faccia della sfera a noi  offerta); nel caso iperbolico (c) si vede subito che di rette parallele alla retta r data ve ne sono certamente due (h e k) e poi tutte quelle comprese nell'angolo formato dai prolungamenti delle due rette. C'è poi da aggiungere che nel caso euclideo (a), una data distanza (segmento ordinario) si conserva, qualunque spostamento facciamo fare ai due punti che delimitano questa distanza; nel caso ellittico (b) vale la stessa proprietà, con l'avvertenza che ora la distanza è rappresentata da una geodetica; nel caso iperbolico (c) questa proprietà non si mantiene più e si dovranno considerare, via via che ci spostiamo sulla sella, delle distanze diverse.  Per capire meglio ciò si può pensare di ritagliare su un pezzo di carta un triangolo  euclideo:  se  lo facciamo  scorrere  su di  un piano non incontriamo alcun problema; facciamo la stessa operazione con un triangolo di buccia d'arancia su di un'altra arancia: dovunque spostiamo il triangolo, esso trova esatta sistemazione sull'arancia; prendiamo ora un triangolo di sella: se lo spostiamo lungo la sella non si adatta se non alla posizione da cui l'abbiamo prelevato.

          Per.portare a compimento queste brevi note non resta che definire ciò che abbiamo introdotto senza alcuna spiegazione: la curvatura di una superficie. Supponiamo di avere una curva piana rappresentata a tratto continuo nella figura 4 a. Se si vuol conoscere la sua curvatura per un arco (infinitesimo) compreso tra i punti A e B non si deve far altro che considerare la circonferenza 

Figura 4

che abbia nell'arco come suo arco e quindi fare l'inverso del raggio di questa circonferenza. Cosicché la curvatura k dell'arco AB sarà k = 1/r. Nel caso più generale di una superficie le cose si complicano, anche se Euler ha dimostrato un teorema che facilita di molto le cose. Riferiamoci ad un ellissoide (la sfera è un caso particolare di ellissoide), quello riprodotto in figura 2 b. Se vogliamo calcolare la curvatura della superficie in un suo punto P bisognerà trovare tutte le sezioni perpendicolari all'ellissoide passanti per P: ciascuna di queste sezioni rappresenterà una linea con propria curvatura (nel nostro caso è evidente che la curvatura della sezione passante per DBE è inferiore a quella della sezione per ABC). Ebbene, tra queste sezioni, ve ne sarà una con curvatura massima ed una con curvatura minima; Euler ha dimostrato che le curvature massima e minima corrispondono a sezioni tra loro perpendicolari. Con ciò, se r e' il raggio della circonferenza che meglio approssima la curvatura minima (in P) ed R il raggio della circonferenza che meglio approssima la curvatura massima, (in P), per la curvatura in P vale la relazione:  k = 1/Rr. Si vede subito che al tendere ad infinito di una sola delle quantità a denominatore, k risulta nulla. La geometria euclidea, approssimazione di una geometria su una sfera di raggio infinito, presenta k = 0 La geometria ellittica avrà  k > 0.  Per quel che riguarda la geometria iperbolica, osservando che i centri di curvatura delle sezioni minima e massima si trovano da parti opposte rispetto alla superficie (figura 5) e che quindi i raggi r ed R vanno presi con segno opposto, si vede subito che si avrà k < 0.

 

Figura 5

        Quanto ora detto ci permette  di arrivare ad altre conclusioni. Un cono od un cilindro, ad esempio, presentano k = 0, poiché mentre r  è  uguale ad un numero qualunque, R è certamente infinito (infatti se si fa una sezione, passante per un punto P sulla superficie e parallela alla base di un cono o di un cilindro all'altezza che si vuole,  si troverà una data curvatura legata al raggio r della circonferenze, ottenuta, come sezione; ma se si fa la sezione perpendicolare a questa prima., sempre per P, si trova un rettangolo od un triangolo (ordinari) a seconda che si abbia il cilindro od il cono; per P passerà ora una retta, con curvatura nulla, che e' quindi assimilabile ad una circonferenza di raggio R che vale infinito). Allora per cilindro e cono si ha k = 0, come nel caso delle superfici euclidee piane. Ebbene si dimostra facilmente che superfici che abbiano uguale curvatura sono applicabili l'una all'altra, di modo che se ritagliamo un cono od un cilindro di carta possiamo farlo aderire perfettamente ad un piano; e questa operazione non ci è possibile realizzarla né con una sella né con una sfera perché il k del piano vale zero mentre il k di queste ultime figure geometriche è diverso da zero (per il caso della sfera si può pensare all'impossibilità di riprodurre con esattezza la Terra su di una. carta geografica).

          Ho solo dato qualche cenno che però mi pare sufficiente per poter concludere che letteralmente si aprono nuovi mondi. Questi mondi troveranno sviluppi e rappresentazioni nei lavori di F.Klein (1894-1925), di H.Minkowskij (1864-1909) e di D.Hilbert (1862-1943).  

 

Segue...

 

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