FISICA/MENTE

UN POSSIBILE APPROCCIO ALLA TEORIA DELL'ELETTRONE LIBERO ED ALLA TEORIA DELLE BANDE DI ENERGIA

Roberto Renzetti   

 

PREREQUISITI

  Prerequisiti semplici alla trattazione che segue sono:

       a) il modello atomico di Bohr

       b) il principio di Pauli

       e) l'energia potenziale di due cariche puntiformi

       d) la legge di Gauss

       e) l'oscillatore armonico

       f) la temperatura assoluta.

 

IL CAMPO DI ENERGIA POTENZIALE IN UN METALLO

                                                

    Un modello semplificato per la struttura cristallina di un metallo vede un reticolo tridimensionale di atomi disposti ai vertici di figure solide regolari.

    Volendo considerare l'energia potenziale in un punto all'interno del metallo occorre tener conto che essa è la risultante di tutte le energie potenziali che sono prodotte in quel punto dagli ioni che occupano i vertici del reticolo.

    L'atomo che occupa un vertice del reticolo ha poi, esso stesso, una struttura che, in prima approssimazione, può essere pensata costituita da un nucleo di carica positiva Z·e circondato da Z elettroni (in orbite che approssimativamente si svolgono lungo una sfera).

    Se prendiamo in considerazione un elettrone sull'ultimo livello energetico atomico (un elettrone di valenza) di uno di questi atomi del reticolo è facile capire cosa accade. Questo elettrone avrà carica   q=  - e;  vedrà quindi la parte rimanente del  « suo » atomo come uno ione di carica q2  = + e.

     Facciamo ora l'ipotesi di scegliere l'infinito come riferimento V = 0 di potenziale e ricordiamo che, per un atomo isolato, l'espressione che ci fornisce il potenziale V in un punto a distanza r dal nucleo è:

  V = q1 /r

dove q1 è la carica totale racchiusa in una sfera di raggio r.  

          E' allora evidente che l'energia potenziale U è data da:

 U = q2·V.

        Poiché nel nostro caso la carica totale fornita dallo ione è    q1 = + e, si trova subito che il valore per l'energia potenziale di un elettrone nel campo dello ione è:

            U  = q2V     =>       U=q2(q1/r)       =>     U  =  -  e2/r

Rappresentando graficamente questa espressione  (si tratta evidentemente di una iperbole equilatera riferita ai propri assi: U·r  =  - e)    si trova (figura 1):

 

     E' bene, a questo punto, ricordare che r è una distanza radiale dallo ione (in figura indicato con a) e quindi deve essere considerata in tutto lo spazio circostante lo ione. Scelta quindi una direzione arbitraria a partire dallo ione, la curva S di figura rappresenta la funzione U = U (r) a destra dello ione mentre la curva tratteggiata rappresenta U (r) a sinistra dello stesso ione.

     Il  metodo induttivo ci permette facilmente  di arrivare alla situazione del cristallo da cui  eravamo partiti.

     Consideriamo allora due ioni (e b) adiacenti e trascuriamo tutti gli altri. Nella figura 2 si vede come vanno le cose, tenuto conto che:

       S rappresenta la funzione U (r) per lo ione  a ;

       S'        »        »     »      »          »            »       b ;

       S" rappresenta la funzione U (r) risultante dall'interazione (somma) dei due ioni (si osservi infatti che: ab+ac = ad).

 

     Una importante caratteristica della curva S" risultante è il suo essere praticamente coincidente con le curve  S  ed  S' nelle vicinanze degli ioni e più schiacciata delle altre due nella zona tra essi compresa.

     Consideriamo ora una intera fila di ioni (a, b, g, d, ...) all'interno del reticolo metallico e cerchiamo di trovarci l'andamento dell'energia potenziale da ione a ione fino ad arrivare alla superficie del metallo.

     Il procedimento, analogo a quanto visto per due ioni adiacenti (si tiene conto solo della piccola influenza che sulle curve risultanti danno ioni vicini), fornisce la curva di figura 3.

 

     Quello che si nota subito è che all'interno del metallo c'è una ampia regione che è ,con buona approssimazione, equipotenziale a campo medio nullo (basta osservare che, a parte la rapida variazione di U nelle immediate vicinanze degli ioni, dove tende a  -  oo, le curve risultanti sono molto schiacciate nelle zone tra ione e ione, fatto questo che sta appunto ad indicare la lenta variazione di U (r) in queste zone).

     Soffermiamoci ancora sulla figura 3; si vede che lo ione d è l'ultimo sulla destra della fila di ioni presa in considerazione. Il che, è ovvio, vuol dire che alla sua destra non vi sono più ioni. Ebbene questo ultimo ione non può essere considerato esso stesso la « superficie » del metallo; alla sua destra c'è infatti una piccola zona a cui compete un certo valore di energia potenziale di cui bisogna tener conto. Questa piccola zona alla destra di d sposta la «superficie» del metallo di poco ed in un modo non perfettamente definito. Dalla figura si vede che la curva che ci dà U alla destra di d è molto più « alta » di tutte le altre. Se si tiene conto dell'ovvia osservazione che interno del metallo è circa a sinistra di  d ed esterno del metallo è circa a destra di d, la maggiore « altezza » della U (r) alla destra di d implica che nel passaggio dall'interno all'esterno del metallo (e viceversa) c'è una barriera di energia potenziale.

 

ELETTRONI LIBERI ED ELETTRONI LEGATI

 

     Rimane da vedere cosa fanno gli elettroni in questo campo di energia potenziale. Sempre riferendoci alla figura 3,  consideriamo  un  elettrone  a  cui  compete una  energia corrispondente al livello A di figura. Esso sarà uno degli elettroni dei livelli energetici più interni dell'atomo e perciò risulterà fortemente attratto dal nucleo (elettrone legato), avendo a disposizione solo il piccolo tratto ab per i suoi movimenti. Questo elettrone infatti "colliderà" alternativamente nei punti a e b delle barriere di energia potenziale non avendo possibilità di liberarsi e di entrare in qualunque processo di conduzione quando si applichi un campo elettrico esterno.

     Gli elettroni liberi sono invece quelli a cui compete, ad esempio, un'energia corrispondente al livello B di figura 3.

     Questo elettrone non possiederà solo energia potenziale ma sarà dotato anche di energia cinetica; esso si muoverà liberamente all'interno del metallo risentendo solo della piccola azione che gli altri elettroni liberi hanno su di lui. Quando questo elettrone raggiunge la superficie del metallo colliderà con la barriera di energia potenziale nel punto C e, rimbalzando, tornerà verso l'interno del metallo.

    Un elettrone « più libero » ancora è quello a cui compete, ad esempio, un'energia corrispondente al livello D di figura 3. Questo elettrone ha complessivamente un'energia superiore a quella della barriera; esso è pertanto in grado di lasciare, in qualsiasi momento, il metallo (ad esempio: per effetto termoionico).

 

MODELLO SEMPLIFICATO DELL'ENERGIA POTENZIALE ALL'INTERNO DI UN METALLO (IL MODELLO DELL'ELETTRONE LIBERO)

    Consideriamo ancora la figura 3 ed in essa la zona di energia in cui gli elettroni sono liberi. Questa zona può essere schematizzata come in figura 4 e quindi come in figura 5.

        La schematizzazione che abbiamo fatto corrisponde ad   aver ammesso che il campo agente su di un elettrone, all'interno del metallo, sia effettivamente uguale a zero, e non solo  in media. Ci interesseremo quindi degli elettroni liberi (quelli  responsabili dei fenomeni di conduzione) che si trovano, in base alla nostra ipotesi, in una regione equipotenziale (non soggetti ad alcuna forza) dove si comportano allo stesso modo di un gas perfetto; nel far questo trascureremo completamente gli elettroni legati. Questo punto di vista è, come si può riconoscere, in accordo con l'elettrostatica classica anche perché non tiene conto della struttura atomica.

        Poiché è un fatto sperimentale che a temperatura ambiente non si osserva emissione di elettroni da un metallo, viene spontaneo ammettere che, a temperature di questo ordine (~300° K), un elettrone in riposo all'interno del metallo si trovi ad una energia potenziale minore di quella che competerebbe ad un elettrone in riposo al di fuori del metallo. Questo fatto significa che tutti gli elettroni debbono trovarsi, a temperature ordinarie, al disotto del « livello di vuoto » (energia di un elettrone in riposo al di fuori del metallo) di figura 5, dentro la buca di energia potenziale di profondità ES. Ad una temperatura T = 0°K tutti i livelli energetici fino ad EF sono pieni (rispettando però il principio di Pauli), tutti quelli più che si trovano più su sono vuoti. Alla quantità:

                      F   =  ES  -  EF

si dà il nome di potenziale di estrazione di un elettrone da un metallo (o funzione  lavoro).

 

INSUFFICIENZA DEL MODELLO  

    II  modello  dell'elettrone  libero  mentre  spiega bene la conducibilità elettrica e termica dei metalli, non spiega degli altri fenomeni, tra cui la differenza tra conduttori ed isolanti (perché alcune sostanze hanno degli elettroni liberi ed altre no?) e come mai la forte corrente che può condurre un metallo diminuisce al crescere della temperatura mentre la debole corrente condotta da un isolante aumenta con la temperatura.

LA TEORIA DELLE BANDE NEI SOLIDI  

     I fenomeni a cui abbiamo accennato alla fine del precedente paragrafo trovano una brillante spiegazione con l'introduzione della teoria delle bande (di energia).

     Per spiegare, almeno qualitativamente, il contenuto della teoria, occorre rifarsi per un momento ad un fenomeno ben noto in fisica: la corda vibrante. Una corda elastica lunga L, unidimensionale e continua, fissata con un estremo ad una parete e tenuta in mano all'altra estremità, potrà vibrare solo a quelle frequenze che soddisfano la seguente condizione: la lunghezza d'onda l deve essere un sottomultiplo intero del doppio della lunghezza L della corda (2L = nl, con n³1 ed intero). Le frequenze possibili sono quindi discrete (ricordiamo che è proporzionale ad 1/l), ad ogni valore intero di n appartiene una frequenza.

           La stessa cosa si verifica per un oscillatore del tipo riportato in figura 6 (a) (massa m collegata ad una molla che è fissata ad una parete); si hanno cioè frequenze discrete del tipo riportato in figura 6 (b).

         Se ora accoppiamo (accoppiamento debole) due oscillatori con frequenze uguali come in figura 7, si può dimostrare che se le frequenze possibili per i due oscillatori disaccoppiati (figura 6 (a)) sono quelle riportate in figura 8 (a) e (b), le fre quenze possibili per i due oscillatori accoppiati (fig. 7) sono date dalla figura 8 (c). [Per tutti i conti relativi a questa parte vedi: Carlo e Silvia Bernardini, Fisica degli atomi e dei nuclei, Zanichelli, 1965]. Quello che succede è che ogni frequenza degli oscillatori isolati si scinde in due frequenze distinte.

     Se abbiamo tre oscillatori disaccoppiati che oscillano con frequenze uguali e li accoppiamo otteniamo che ogni singola frequenza di oscillazione dell'oscillatore isolato si scinde in tre diverse frequenze (fig. 9).

 

     Ritornando nel campo atomico ed osservando che l'atomo è un oscillatore, l'estensione è immediata.

     Consideriamo due atomi identici a grande distanza l'uno dall'altro. Supponiamo, per fissare le idee, che questi due atomi abbiano i loro elettroni disposti sugli orbitali S. I livelli energetici elettronici per questi atomi saranno come quelli riportati in fig. 10.

   

    Ora avviciniamoli. Essi quanto più saranno vicini tanto più interagiranno. In definitiva non si dovranno più considerare i due atomi (oscillatori) separati ma accoppiati. Quello che accade è analogo a quanto abbiamo visto nel caso degli oscillatori ed è riportato in figura 11 in cui è disegnata l'energia E dei successivi livelli energetici in funzione della distanza d tra i due atomi.

.

     Quando i due atomi sono a grande distanza vi è un livello energetico 1S singolo e comune (degenere) per i due atomi. Quando i due atomi interagiscono il livello 1S, comune ai due atomi, origina due livelli 1S per l'accoppiamento tra i due atomi, ed il livello 2S per i due atomi separati origina due livelli 2S per l'accoppiamento tra gli stessi due atomi.

     Se portiamo ad interagire tre atomi con livelli energetici  del tipo riportato in fig. 10 otteniamo un grafico E = f(d) [energia dei livelli energetici degli atomi in funzione della distanza  tra di essi] del tipo riportato in figura 12.

   

    Se il numero degli atomi che interagiscono diventa N (circa  1023  per cm3) avremo N livelli energetici in corrispondenza di ogni singolo livello energetico che avevamo per ciascun atomo isolato. Poiché il numero N è enorme, in luogo di considerare 1023 livelli energetici in corrispondenza di ogni livello energetico atomico, si può considerare una banda (continua) di energie permesse agli elettroni in corrispondenza di ogni singolo livello energetico atomico

    Quindi se dobbiamo considerare l'interazione di N atomi per cm3 (e questo è il caso di un solido) il grafico E=f(d), che otteniamo, è del tipo riportato in figura 13.

   

     Così per ogni livello energetico atomico avremo N livelli energetici (che formano una banda) per il solido; e poiché per ogni livello energetico si possono avere al massimo 2 elettroni, in ogni banda vi possono essere al massimo 2N elettroni. Si ha allora banda piena (semipiena) per un solido i cui atomi hanno un numero pari (dispari) di elettroni liberi.

     Poiché stiamo trattando con atomi è importante notare che non si debbono più considerare livelli energetici elettronici relativi al singolo atomo ma, per così dire, il singolo atomo sparisce e si ha a che fare con livelli elettronici che sono di tutto il cristallo. In ognuno di questi livelli poi, come abbiamo già visto, vi possono essere al massimo due elettroni e ve ne sono due solo se hanno spin antiparalleli. Ebbene, conseguentemente con quanto detto ora, questi elettroni si muoveranno con traiettorie quantizzate attraverso l'intero cristallo.

     E' proprio dal riempimento delle bande, costituite dai livelli elettronici del cristallo, che è possibile trovare una distinzione tra conduttori ed isolanti.  

Segue...

 

    

 

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