APPARECCHIATURA PER LO STUDIO DI ALCUNI FENOMENI DI IDRODINAMICA
di Adolfo Pastore
(Alla fine di questa illustrazione vi è la possibilità di vedere un filmato, prodotto da Adolfo Pastore, che illustra visivamente la sua apparecchiatura).
PREFAZIONE
L’apparecchiatura di cui ci accingiamo ad illustrare il principio di
funzionamento, si presenta come un sistema costituito da un
cilindro di alluminio in cui un pistone in alluminio a cui è stato
praticato un foro assiale, si muove svolgendo un moto alternativo. Il pistone può
traslare nel cilindro per mezzo di un cinematismo biella-manovella, compiendo
quindi un moto armonico (in prima approssimazione).
All’altro estremo del cilindro è posto un altro cilindro in cui vi è
un pistone mobile opposto al pistone principale può scorrere se sollecitato
meccanicamente. Tale pistone è realizzato anch’esso in alluminio
e su di esso agisce o una forza elastica (molla) oppure una forza
gravitazionale (massa appesa ad un filo inestensibile). Il sistema a geometria
cilindrica coassiale è appoggiato in modo solidale su un supporto metallico, ed
è provvisto di due piccoli tubi in plastica trasparenti in cui circola il
liquido in esame, che viene raccolto in una vaschetta
graduata.
(circuito idraulico).
Esperienze
di laboratorio realizzabili con l’apparecchiatura.
1)
Circuito idraulico con
illustrazione del principio di funzionamento del sistema e sugli aspetti fisici
dell’aspirazione e scarico del liquido.
2)
Trasformazioni
energetiche :energia gravitazionale, energia elastica in energia conferita al
liquido.
3)
Verifica
sperimentale della dipendenza della pressione di un liquido in moto dalla
sezione di attraversamento.
4)
Studio
del tubo di venturi.
5) Studio sperimentale
della legge di Poisseuille.
SCHEMA
DI PRINCIPIO DELL’APPARECCHIATURA
(energia
potenziale gravitazionale in energia meccanica conferita al liquido)
Consideriamo il pistone P congelato nella posizione in cui il liquido
contenuto nella vaschetta S risale attraversando il tubicino T1 per
effetto della depressione creata nella camera C a causa dello spostamento del
pistone P generato dalla rotazione della manovella M. La pressione esterna,
corrispondente a quella atmosferica, come noto, spinge il liquido contenuto
nella vaschetta ad invadere la camera C.
Ruotando in senso orario la manovella M, il pistone P avanza spostando il
liquido contenuto nella camera C verso sinistra del disegno. Se supponiamo il
liquido incomprimibile , è evidente che il pistone P1 non può fare
altro che spostarsi e sollevare le due masse uguali (M1) a cui esso
è connesso per mezzo di un sistema di carrucole conferendo ad esse una maggiore
energia potenziale.
Quando il foro longitudinale del pistone P, si trova in corrispondenza
del secondo foro del cilindro,il liquido può fuoriuscire grazie alla azione
delle due masse che scendono per effetto della gravità. Il liquido attraversa
il tubicino T2 e finisce nella vaschetta di raccolta S. Ruotando
nuovamente la manovella M in senso antiorario il pistone P si sposta verso
destra del disegno, torna indietro fino a quando il foro del pistone P si trova
in corrispondenza del primo foro del cilindro ,consentendo così al liquido
contenuto nella vaschetta, di risalire e fino alla camera C,
SCHEMA
DI PRINCIPIO DELL’APPARECCHIATURA
(energia
potenziale elastica in energia meccanica conferita al liquido)
Consideriamo il caso in cui al pistone P1 sia connessa una
molla con costante elastica K come si evince dallo schema.
Il funzionamento è in sostanza ,analogo a quello precedentemente
illustrato, con l’unica differenza che la molla viene compressa e rilascia la
sua energia potenziale al liquido il quale fuoriesce dal foro del pistone P nel
momento in cui esso si trova in corrispondenza del secondo foro del cilindro. Il
lavoro svolto è compiuto dalle forze elastiche che conferiscono al liquido
energia cinetica, potenziale e di pressione. In questo caso però sul liquido
agisce una forza non costante ma dipendente, come noto, da x ovvero
dall’accorciamento della molla (F= - K x
la nota legge di Hooke ). Dal punto di vista energetico , in teoria ,
trascurando gli attriti, abbiamo una trasformazione di energia potenziale
elastica (1/2 K x2 ) in energia potenziale, cinetica e di pressione
conferite al liquido in esame.
Moto di un liquido viscoso in un
tubo di piccolo diametro.
Consideriamo un liquido reale di viscosità h,
che attraversa un tubo di piccolo diametro dell’ordine di alcuni millimetri,
con una velocità di scorrimento relativamente bassa (dell’ordine inferiore a
1 cm/sec). La sezione considerata,
nel caso della esperienza realizzata, possiede un raggio
r=0,4 cm .Nel caso specifico, possiamo affermare che il teorema di
Bernoulli non è applicabile a causa appunto degli attriti interni del liquido e
degli attriti tra liquido e pareti interne del tubo.
Infatti, come noto , avremo un profilo delle velocità che è minimo in
prossimità delle pareti interne del tubicino e massima al centro, lungo
l’asse di simmetria del tubo. L’esperienza insegna che per tale
configurazione fisica è necessario ricorrere a quanto dimostrato teoricamente
da Poiseuille.
La portata F di un tubo orizzontale di raggio r in cui scorre un liquido viscoso, di
viscosità h, in regime laminare ,è proporzionale alla differenza di pressione P1-P2=DP
che insistono tra due sezioni poste ad una distanza x, ed inversamente
proporzionale alla resistenza al moto Rt dovuta agli attriti.
F
= DP
/ Rt =
dove Rt= (8 h
x) / p
r4
per cui:
F
= [(p
r4 )/ (8 h
x)] DP
VERIFICA SPERIMENTALE DELLA LEGGE DI
POISSEUILLE
Consideriamo il tubicino orizzontale di uscita della apparecchiatura dove
è stato inserito un manometro differenziale,come si evince dallo schema.
Dalla misurazione del dislivello h possiamo misurare DP.
Se il raggio del tubicino è noto e se conosciamo la viscosità del
liquido circolante (ad una certa temperatura), possiamo fare diverse misure di
diretta proporzionalità tra la portata misurata e la differenza di pressione
misurata dal manometro differenziale.
La portata media può essere misurata determinando la velocità del
pistone mobile, in corrispondenza del valore costante, ottenuta grazie al
sensore di posizione ad ultrasuoni.
La portata può essere variata aumentando
o diminuendo il valore delle masse uguali, oppure rimanendo le stesse masse ,ma
posizionando il pistone,quando si trova al
punto morto superiore, ad una posizione diversa da quella che si ha quando il
foro del cilindro coincide perfettamente con quello del pistone.
ACQUISIZIONE
ON-LINE
Nell’ambito della fisica on-line acquisiamo la misura di portata nel
seguente modo:
Un trasduttore di posizione tipo ad ultrasuoni è posto ad una distanza di 19 cm dalla superficie libera del
pistone P1 , su cui è stata fissata una piccola superficie metallica
preposta a riflettere gli ultrasuoni incidenti, si rivela la posizione
istantanea del pistone P1 con la nota tecnica dell’ ecosonar.
Inoltre il segnale analogico rappresentativo della distanza percorsa dal pistone
P1 consente di determinare la sua velocità e accelerazione.
È altrettanto noto che tale segnale elettrico rappresentativo della
posizione del pistone viene convertito da un A/D, in un segnale digitale ed
acquisito on line dal computer grazie ad un software di acquisizione previamente
installato (software LoggerPro).
L’acquisizione della posizione del pistone P1 comincia
all’istante t=0 .
Quando le masse cominciano a scendere il pistone P1 comincia
ad avanzare.
Trascorso un tempo t (misurato), il pistone ovviamente sarà avanzato di
una quantità x nel cilindro in cui è alloggiato, pertanto avrà espulso una
quantità di liquido Q pari a S*x
(dove S è la sezione del pistone che è nota).
Noto t ed x che si ricava dall’avanzamento dello stelo del pistone P1
possiamo ricavare la portata F che sarà uguale ovviamente a S*x/t =S*V
dove V è la velocità di
avanzamento del pistone.
L’apparecchiatura utilizza anche un
sensore di forza e un sensore di pressione differenziale per la misura,
rispettivamente, della forza di natura gravitazionale oppure elastica agenti sul
liquido in esame e della pressione manometrica tra due sezione del tubo
attraversato dal liquido poste ad una certa distanza X. Il software
di acquisizione, previamente installato sul computer,r interfacciato alla LabPro,
consente la visualizzazione grafica e numerica delle grandezze fisiche misurate
dai sensori.
TRASFORMAZIONE
DI ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE IN ENERGIA MECCANICA CONFERITA AD UN
LIQUIDO
Consideriamo il
sistema composto da un cilindro e due pistoni P1 e P2 di
cui il secondo è fermo ed il primo, P1, si muove con velocità
costante V1.
Supponiamo di
mettere in movimento, mediante il pistone P1,
un liquido contenuto nel cilindro che in prima analisi lo consideriamo
non comprimibile e non viscoso.
Possiamo assumere il regime, come stazionario
se la velocità del pistone P1 è costante. Pertanto avremo, come è
noto, dall’equazione di continuità, supponendo la stessa densità del liquido
V1
S1=V2 S2
(Equazione
di continuità per
regime stazionario).
dove S1 ,
V1 e S2 sono
rispettivamente sezione cilindro, velocità del liquido nel
foro praticato nel pistone P2 che
comunica con l’esterno, grazie al foro praticato
in corrispondenza sul cilindro,
infine S2 è la sezione
del foro del pistone
P2.
Richiamando
l’equazione di
Bernoulli, avremo che il
lavoro compiuto
sul sistema , dalla forza risultante,
si calcola , come noto , considerando tre
contributi :
L=P1
DV1
- P2 DV1
- m g (h2-h1)
Se indichiamo con
d la densità
del liquido avremo:
L = P1 Dm/d - P2 D m/d - Dm g (h2-h1)
la variazione
di energia
cinetica dell’elemento di
liquido è
uguale:
DK
= ½ Dm
V22 -
½ Dm
V12
E, per
il teorema
dell’energia cinetica, DK
= L ; quindi
possiamo scrivere:
P1 Dm/d - P2 Dm/d - Dm g (h2-h1)= ½ Dm V22 – ½ Dm V12
P1/d
– P2/d – g (h2-h1)=V22/2
– V12/2 (moltiplicando
tutto per
d)
P1-
P2- d g (h2-h1)=
½ d
V22- ½ d
V12
P1+½ d V12+d g h1=P2+½ d V22+d g h2
Questa è la nota
equazione de
Bernoulli applicata
al sistema.La
velocità che
possiede il liquido
in S2 è
uguale alla velocità del
pistone, P1 a regime stazionario.
Nel caso specifico del
sistema , abbiamo che lo spostamento del pistone
P1, viene
provocato da
una massa
che scende
per effetto
della gravità. Dopo
un breve
transitorio svolto dalla massa che
cade, la quale
è solidale
al pistone in
quanto connesso ad esso
mediante una
fune inestensibile, il moto lo
possiamo considerare
a velocità
quasi costante.
Il pistone
P1 quindi si
muoverà con
una velocità limite quasi
costante ,pertanto il moto del liquido contenuto nel cilindro è in buona
approssimazione stazionario. In tale ipotesi possiamo analizzare la conversione
dell’energia potenziale gravitazionale della massa M, tolta la parte cinetica,
in energia conferita al liquido (
in realtà energia meccanica) .
Indicando con Ep =M g h l’energia potenziale della massa M è
½ MV2 l’energia cinetica che possiede la massa M, avremo che:
L=M
g h - ½ MV2
in realtà le masse sono due di uguale valore, M risulta essere la loro
somma ,nel caso specifico si è
usato due masse la cui somma è :
M=2,62 Kg
Nel caso specifico, poichè la
velocità di caduta media è
relativamente bassa, dell’ordine di
0,50cm/sec avremo che
l’energia cinetica
delle masse (M1=1316
g) sarà uguale a:
Ec=½
MV2=½ * 2,2 * 0,0052=0,032
mJ (milliJoule)
Mentre l’energia
potenziale è
uguale a:
Ep=Mg hm=2,62
9,8 0,055 (m)=1,412
Joule
Pertanto l’approssimazione
di trascurare
l’energia cinetica
non è proibitiva.
Dal punto di vista dinamico, considerando gli attriti dovremmo avere che:
Mg – Fa =m a
dove Fa
rappresenta la
forza di attrito. Una stima di Fa la
si può avere togliendo
il liquido
nel cilindro e le
masse (M), andando invece a trovare
la massa (M1) che fa muovere il
pistone P1 con
velocità costante.
In
definitiva L1
<1,412 J in
assenza di
liquido.
Possiamo
ragionevolmente sostenere che
il lavoro
(L) compiuto sul
sistema delle
forme risultante che
si calcola
sommando i
tre termini :
1) lavoro
delle forze
di pressione
P1 V1
(masse che scendono)
2) il
lavoro delle
forze di
pressione P2
V2 che è
negativo in
quanto compiuto
dal sistema.
3) il
lavoro compiuto
sul sistema
delle forze
di gravità
dovuto al
sollevamento della porzione di
liquido V2 alla
quota h2-h1.
Pertanto : P1
DV1 – P2 DV1
- Dm
g (h2-h1)=
½ Dm
V22 – ½ Dm
V12
(M g Hm – ½ M Vm 2) - P2
DV1 – r
DV1 g (h2-h1)= ½ r
DV1
V22+ –
½ r
DV1
V12
(M g Hm – ½ M Vm2)=P2
DV1 + r
DV1 g (h2-h1) + ½ r
DV1
V22 –½ r
DV1
V12
M g Hm- ½ MVm2= P2/r
Dm
+ Dm g (h2-h1)+
½ DmV22-½ DmV12
M g Hm-½ M Vm2/Dm=P2/r+g
(h2-h1)+
½ V22-½ V12
r(M
g Hm-½ MVm2)/Dm=P2+r
g (h2-h1)+
½ r
V12
(M g H m – ½ M Vm2)/DV1=P2+r
g (h2-h1)+
½ rV22-½ rV12
Il rapporto (M g Hm-½ M V2m/DV1)
esprime l’energia gravitazionale
riferita all’elemento di volume
del liquido DV1,che
sarà uguale alla
somma della pressione
del liquido P2,
dell’ elemento potenziale
(r
g (h2-h1) e
dell’elemento cinetico (½ rV22-½ rV21)
.
Sono state
effettuate delle
misure di
tempo di
scorrimento del
pistone P1
mettendo delle
tacche sullo
stelo ad
una distanza uguale
di 1.5 cm
e con un
timer (start-stop) abbiamo
riscontrato :
che è ragionevole
porre una
velocità di
scorrimento quasi
costante per
cui possiamo supporre che
si sia
instaurato un
regime quasi
stazionario.
Poichè è stato realizzato
un circuito
idraulico, il liquido
ritornava in un
recipiente graduato per cui
è stato possibile
misurare il
tempo di
raccolta del liquido
e misurare la portata media.
Per verificare
sperimentalmente che la
velocità diminuisce
all’aumentare delle sezioni e
che viceversa
aumenta la
pressione è possibile
realizzare un semplice Tubo di
Venturi .
È noto che dal principio
di Bernoulli per un tubo
orizzontale attraversato da un liquido (non comprimibile e non viscoso),
considerando le sezioni S1 e S2 :
P1/r+V12/2g
= P2/r+V22/2g
oppure: (P1-P2)
/r
= (V22-V12)/2g
Poiché S1*V1 = S2*V2 V2=(S1/S2) V1=m V1 dove m = S1/S2
(P1-P2)
/r
= (m2V12- V12) / 2g = [(m2-1) / 2g ] V12
quindi:
V1=Ö[2g/(m2-1)]
* Ö(P1-P2)/r
= K Ö(P1-P2)/r
Quindi
possiamo scrivere che V1=K2
Öh
Il dislivello
monometrico h, viene misurato dal sensore di pressione differenziale
TRASFORMAZIONE
DI ENERGIA POTENZIALE ELASTICA IN
ENERGIA MECCANICA CONFERITA AD UN LIQUIDO
Consideriamo il
sistema rappresentato
in figura. Il
pistone P1 è congelato
nella posizione
che comprime
di una certa quantità
Dx
la molla
che possiede
una costante elastica K.
Il funzionamento
del dispositivo
è abbastanza
semplice.
L’energia elastica
accumulata dalla
molla in
seguito all’avanzamento
del Pistone
P2 si converte in energia idraulica (energia meccanica).
Infatti il liquido contenuto nel cilindro fuoriesce verso l’esterno
attraversando il foro del pistone P2, che si trova al punto morto
superiore, in corrispondenza del foro del cilindro.
L’energia potenziale
accumulato dalla
molla è
come noto : U=1/2 K * Dx2
La velocità
di avanzamento
del pistone
non è costante.
La forza massima esercitata dalla molla sul pistone P1 ( quindi sul liquido ) è uguale
F = - K* Dx
Se consideriamo
un singolo
elemento di
volume DV
piuttosto piccolo avremo
per ogni
istante che Dm/Dt
è costante, per cui la
massa del
liquido che viene
spostata dal
pistone P1
di sezione
S1, sarà uguale alla massa
che esce attraversando
la sezione S2
nello stesso
intervallo di
tempo. Per un
elemento DV
di volume
spostato possiamo
calcolare il
lavoro L compiuto dalle
forze agenti sul
sistema nel
modo noto.
DL= P1*DV –P2* DV -Dm g (h2-h1)=DK
P1 DV –P2 DV –(DV d) g Dh= ½ (DV d) V22 –½ (d DV) V12
P1 - P2 – d g Dh = ½ d V22-½ d V12
P1=|K* Dx|/S1
K DX/S1- P2-d g Dh= ½ d V22- ½ d V12
ma
anche :
P1 DV-P2 DV-(d DV) g Dh=½ d DV V22 - ½ d DV V12
P1 DV
è il
lavoro compiuto
dalle forze
di pulsione
di natura
elastica, per cui è uguale
a
½ K Dx2 -½ M V2
dove
M è
la massa del
pistone e V
e la sua
velocità istantanea.
(½ K Dx2-½
M V2)-P2 DV-d DV
g Dh=½ d
DV V22- 1/2 d DV
V12
½ K Dx2-½ M
V2=P2 DV+d
DV g Dh
+½ d DV
V22- ½ d DV
V12
(½ K Dx2-
½ M
V2)/DV=P2+d
g Dh+
½ d
V22- ½ d V12
(DK=DU : molla in
oscillazione libera con
un blocco
di massa
M.
Nel
caso esaminato , una parte
dell’energia potenziale
della molla si
trasforma in lavoro
MISURAZIONI
EFFETTUATE SULLA VERIFICA SPERIMENTALE DELLA LEGGE DI POISEUILLE.
Per la realizzazione della esperienza è stato utilizzato un tubicino di
gomma del diametro interno di 4 mm (0,4 cm) , collegato sul foro di uscita e
disposto per una certa lunghezza in
modo orizzontale. Ad una distanza 35 cm è stato inserito una piccola
connessione a T la quale consentiva una derivazione di due piccoli tubicini che
vengono connessi alle due estremità del trasduttore di pressione differenziale.
Il liquido usato per le misurazioni è acqua a temperatura ambiente.
Per l’esecuzione dell’esperienza abbiamo proceduto nel seguente modo.
La posizione del pistone mobile P1 è rivelata dal trasduttore
di posizione ad ultrasuoni mediante tecnica ecosonar .Vengono appese
le due masse uguali grazie ad un sistema di carrucole.
E’ stato riscontrato sperimentalmente ,elaborando le diverse misure
effettuate che la legge teorica di Hagen-Poiseuille può essere scritta :
F
= [(p*r4
)/ (8*h
* X)] * DP
Si deve tener conto delle perdite di carico nei punti di giuntura,
compatibilmente con il diametro del tubicino in cui scorre il liquido e quello
del tubicino monometrico.
Motivo per cui è necessario moltiplicare la portata ottenuta applicando
la formula , una volta misurate, o note, le altre grandezze fisiche, per un
coefficiente K ,da determinare sperimentalmente ripetendo la stessa esperienza
con masse di valore diverso.
Il volume di liquido (acqua) spostato, lo si ricava moltiplicando la
sezione del pistone P1 (di 7 cm2) per la velocità di scorrimento
dello stelo del pistone mobile, misurato
dal sensore ad ultrasuoni ,in corrispondenza del valore costante, come si può
riscontrare dal grafico velocità - tempo fornito dal software di acquisizione.
La portata F la si può anche ricavare,
come noto, dividendo il volume spostato per il tempo impiegato F
= V/t ( cm3/sec).
La velocità di scorrimento del pistone ovviamente:V=X/t (cm/sec).
I dati sono:
h
= 0,01 g cm-1sec-1 ( viscosità dell’acqua a 25°C 0,01
Poise), X= 35 cm , DP lo si ricava dal grafico pressione tempo dividendo il valore di tensione
di uscita dell’amplificatore (grafico tensione tempo) per il suo guadagno che
vale 75, il risultato si divide per 16,7 mV/psi che è la sensibilità del
sensore di pressione differenziale, il numero ottenuto lo si moltiplica per 0,07
(psi a Atmosfere –atm) e il risultato ottenuto si moltiplica per 101 *10000,
otteniamo così la pressione misurata in dyn/cm^2. Quindi l’algoritmo
è:
DP(dyn/cm^2)=
(V/ 75*16,7)*(70700)
Verifica della legge di Poiseuille
utilizzando
come liquido acqua e una massa da 1,3 Kg
VALUTAZIONE
DEL NUMERO DI REYNOLDS
Nel caso specifico del
liquido che attraversa il tubicino possiamo determinare la velocità di
attraversamento V della sezione S1,che è uguale a : P*r2
=3,14*0,22= 0,125 cm2
, dividendo la portata F
per P*r2
.Quindi V =F
/0,125.Conoscendo la velocità V , le caratteristiche fisiche del liquido , il
diametro del tubo nonchè la stato della parete interna (la mancanza di asperità
–pareti lisce) possiamo valutare il rapporto tra le forze di inerzia e quelle
viscose che agiscono sul liquido, ovvero determinare il numero adimensionale di
Reynolds che, come noto, fornisce una caratterizzazione del moto , in relazione
alla sua natura di moto laminare o turbolento la letteratura recita che per R
minore di 2400 il moto è laminare ,diversamente è turbolento. E’ altrettanto
noto che un moto di un liquido viscoso che attraversa una sezione circolare di
un tubo senza rugosità ben levigato con forma particolarmente accurata e
simmetrica degli estremi del tubo il valore di R può essere anche maggiore di
quello appena dato. Infatti esso può
raggiungere anche il valore di 10000 e, sia pure per regimi instabili fino a
20000.
Il numero di Reynolds per tubi a sezione circolare di diametro d è dato:
R=
(V*d* r )/ h
Dove R è il numero di Reynolds, V è la velocità del liquido ,d
il diametro del tubo, r
la densità del liquido, h la viscosità assoluta del
liquido.
Per il tubo di cui abbiamo disposto di diametro di 0,4 cm
in buono stato senza asperità interne, possiamo determinare la velocità
limite VL dalla relazione inversa data poc’anzi, assegnando a R il
valore teorico di 2400; naturalmente
il valore sperimentale di R, compatibilmente con la geometria del tubo e lo
stato delle pareti interne andrebbe misurato sperimentalmente aumentando la
velocità V fino al raggiungimento della velocità limite
VL e riscontrando il passaggio dal moto laminare a quello
turbolento.
Se assegniamo a R il valore di 2400 abbiamo che :
VL=
(2400*0,01)/0,4*1= 60 cm/sec
EQUAZIONE
DELL’ENERGIA APPLICATA AI FLUIDI
Come è noto ,l’energia posseduta da un fluido in moto è costituita
dall’energia interna e dall’energia dovuta a pressione, velocità e
posizione.
Nella direzione del flusso,il principio di conservazione dell’energia
si può così sintetizzare:
Energia nella sezione1 + (energia aggiunta ) – (energia perduta) –
(energia estratta) =
Energia nella sezione 2
Questa equazione ,per il moto permanente di fluidi incompressibili per i
quali la variazione di energia interna è trascurabile , possiamo scriverla:
(P1
+ ½ d V12 + d g h1) - Ha - Hl
- He= (P2 + ½ d V22 + d g h2) (teorema
di Bernoulli).
Nel caso nostro specifico ,come è stato detto,vi è un pistone che viene
spinto dalla forza di gravità (massa M). Se trascuriamo l’attrito di
scorrimento di tale pistone nel cilindro di alloggiamento è stato riscontrato
,effettuando diverse misure con portata diversa e masse appese di diverso valore
che è possibile determinare l’energia del liquido (è stato fatto per
l’acqua) che viene persa a causa dell’attrito interno e della viscosità del liquido.
Per realizzare l’esperienza è stato posto una estremità
manometro ad U contenente mercurio in un punto del tubo orizzontale
all’uscita del secondo foro e l’altra estremità
aperta in aria libera .
Tale manometro misurava la pressione nella sezione 2 secondo la direzione
del flusso.
La pressione nella sezione 1 è determinata dal valore delle masse appese
riferite alla superficie del pistone (vedi schema). Se trascuriamo in prima
analisi l’attrito del pistone il principio di conservazione dell’energia
possiamo così scriverlo per l’apparecchiatura oggetto di analisi:
Energia nella sezione S1
– Hp (energia perduta) = Energia nella sezione S2 (P1
+ ½ d V12 + d g h1) – Hp
= (P2 + ½ d V22 + d g h2)
La pressione P1 è quella esercitata dalle masse M che è uguale a (M g)/
S1
La velocità V1 si determina come x/t ,dove X è lo
scorrimento dello stelo del pistone assunto di 3 cm e t è il tempo di
scorrimento misurato con un cronometro. La pressione P2 nella sezione
S2, viene determinata andando a misurare i millimetri di mercurio
sollevati.
La velocità V2 la si determina dal valore della portata
diviso per la sezione di attraversamento del tubicino che possiede un diametro
di 0,4 cm ( S2 = 0,125 cm2 ) .
Se assumiamo come riferimento geodetico il centro del cilindro avremo h1=0
e h2 è risultato essere di 10 cm.
Ovviamente Hp lo si trova per differenza tra l’energia nella
sezione S1 e S2.
Dalle misure effettuate è risultato che Hp è proporzionale alla differenza della pressione
P1 e P2 .
Hp
= K (P1-P2)
CARATTERISTICHE
DELL’APPARECCHIATURA
L’apparecchiatura è stata realizzata completamente in alluminio ed è
montata su un telaio in ferro. Essa si avvale di tre sensori : di posizione ,di
forza e di pressione e di un amplificatore di tensione di guadagno uguale a 75.
Il sensore di posizione è costituito da un trasduttore ad ultrasuoni che
utilizza la tecnica dell’ecosonar per misurare la distanza, la velocità e
l’accelerazione del pistone mobile, che si muove per effetto della massa che
scende. Infatti un fascio di ultrasuoni emesso dal sensore, viene riflesso dalla
superficie metallica che è solidale al pistone.
Il trasduttore di pressione differenziale è di tipo a ponte
piezoresistivo con elemento attivo di potenza, misura una gamma di pressione da
zero ad 1 psi ed è connesso ad un amplificatore di tensione con un guadagno di
75. Il sensore di pressione è collegato a due tubicini con inserzione su una
connessione a T ,alle due estremità del tubo di mandata orizzontale del
diametro interno di 4mm , alla distanza di 35 cm; esso pertanto misura la caduta
di pressione provocata dalla viscosità del liquido in esame.
Si verifica anche, sperimentalmente, la dipendenza della caduta di
pressione, dalla portata della sezione del tubicino attraversata dal liquido. La
portata può essere variata collegando al filo masse di valore diverso. E’
anche possibile in tal modo, verificare la legge di Poisseuille.
Viene usata l’interfaccia analogia-digitale Labpro a cui sono connessi
i tre sensori e l’amplificatore di segnale ed il software di acquisizione
LoggerPro della Vernier, installato previamente sul computer .
Il sensore di forza è quello fornito dalla Vernier con portata di 50 N
mod. v-dfs-bta.
INSTALLAZIONE E CONFIGURAZIONE
Collegare i sensori all’interfaccia Labpro,
Sensore di posizione V-MD-BTD
Sensore di forza V-DFS-BTA
L’Amplificatore di segnale
V-INA-DIN , è incorporato
nell’apparecchio e occorre fare attenzione ai collegamenti:
l’ingresso rosso
dell’amplificatore deve essere collegato alla connessione nera del cavetto con
spina a banana di 4 mm e viceversa, in caso di errata connessione i valori
potrebbero essere errati.
L’amplificatore di segnale non
viene riconosciuto in modo automatico dal software LoggerPro quindi occorre
impostarlo manualmente.
Prima di effettuare
un’acquisizione di dati procedere all’azzeramento di ogni singolo sensore
facendo attenzione a non collegare alcuna massa al sensore di forza..
NB:
·
l’amplificatore
di segnale va impostato a 20mV.
·
la
frequenza di campionamento a 8 - 10 max campionamenti
/sec
MODALITÀ
OPERATIVE
Ruotando la manovella connessa al cinematismo biella –manovella di 180°
si porta il pistone al punto morto
inferiore (massima fuoriuscita dal cilindro) e lo si lascia per alcuni secondi .
Con tale operazione si è consentito
di far corrispondere il foro assiale del pistone con quello di aspirazione del
cilindro. Nella camera del cilindro si è generata una depressione per cui il
liquido viene aspirato dalla vaschetta di raccolta andando ad occupare un certo
volume del cilindro.
Ruotando la manovella di altri 180°, il pistone mobile collegato al
cinematismo biella - manovella, viene portato in avanti e la massa viene
sollevata di una certa quota, aumentando la sua energia potenziale.
Quando il foro assiale del pistone si trova in corrispondenza del secondo
foro di mandata del cilindro, il liquido riceve energia dalla massa che scende e
circola nel tubicino di mandata, raggiungendo, dopo un transitorio, una velocità
pressoché costante (come si evince da grafico velocità-tempo).
Anche in questo caso attendere qualche secondo necessario allo compimento
temporale dell’evento di mandata del liquido.
Per consentire una accettabile misurazione è necessario ruotare la
manovella con continuità senza
interruzioni fermandosi sempre a 180 gradi per il tempo necessario allo
svolgimento completo dell’aspirazione e mandata del liquido. Inotre, dal punto
di vista sperimentale, è necessario misurare anche la temperatura del liquido
contenuto nella vaschetta,in quanto come noto, la viscosità dipende oltre dalla
natura del liquido, anche dalla temperatura.
Grafici sperimentali ottenuti
effettuando delle misure con l’apparecchiatura.
I grafici riportati mostrano un acquisizione dati, ottenuta facendo
ruotare la manovella di 180 gradi e lasciando trascorrere il tempo necessario
per consentire al liquido lo svolgimento dei due eventi di aspirazione e di
mandata.
I quattro grafici, rappresentano, rispettivamente dall’alto in basso:
il primo, la Forza di natura gravitazionale, che agisce sul pistone
mobile, esercitando una pressione costante sul liquido contenuto nella camera
del secondo cilindro coassiale al primo, il quale è costretto ad attraversare
il tubicino di mandata.
Il secondo fornisce il segnale in tensione misurato in mV in funzione del
tempo, che è proporzionale alla
differenza di pressione tra le due sezioni poste ad una distanza di 35 cm del
tubicino di mandata. Con opportuna conversione possiamo avere la misurazione
della differenza di pressione in dyn/cm^2. La formula di conversione è la
seguente:
DP(dyn/cm^2)=
(Tensione/ 75*16,7)*(70700)
Si può notare che quando il liquido ha raggiunto una velocità costante
la pressione , per un certo intervallo, si mantiene pressoché costante ed è
quello il valore sperimentale di tensione corrispondente che va utilizzato nella
formula.
Il terzo e il quarto grafico, rappresentano rispettivamente, la posizione
istantanea e la velocità del pistone mobile fornite dal trasduttore ad
ultrasuoni con la tecnica dell’ecosonar.
Grafici sperimentali analitici
Grafici sperimentali
ottenuti effettuando delle misure con l’apparecchiatura.
I grafici riportati mostrano un acquisizione dati, ottenuta facendo
ruotare la manovella di 180° e lasciando trascorrere il tempo necessario per
consentire al liquido lo svolgimento dei due eventi di aspirazione e di mandata.
I quattro grafici, rappresentano, rispettivamente dall’alto in basso:
il primo, la Forza di natura gravitazionale, che agisce sul pistone
mobile, esercitando una pressione costante sul liquido contenuto nella camera
del secondo cilindro coassiale al primo, il quale è costretto ad attraversare
il tubicino di mandata.
Il secondo fornisce il segnale in tensione misurato in mV in funzione del
tempo, che è proporzionale alla
differenza di pressione tra le due sezioni poste ad una distanza di 35 cm del
tubicino di mandata. Con opportuna conversione possiamo avere la misurazione
della differenza di pressione in dyn/cm^2.
La formula di conversione è la seguente:
DP(dyn/cm^2)=
(Tensione/ 75*16,7)*(70700)
oppure
DP(dyn/cm^2)=
tensione*56,44 quindi in
generale la portata:
F
= [(p*r4
)/ (8*h
* X)] * DP
Inoltre, in particolare per
acqua con viscosità η=0,01
poise a 25 gradi Celsius abbiamo
che :
Portata (nella sezione del tubicino mandata cm^3/s
) = Tensione * 0,101
Si può notare che quando il liquido ha raggiunto una velocità costante
la pressione, per un certo intervallo, si mantiene pressoché costante ed è
quello il valore sperimentale di tensione corrispondente che va utilizzato nella
formula.
Il terzo e il quarto grafico, rappresentano rispettivamente, la posizione
istantanea e la velocità del pistone mobile fornite dal trasduttore ad
ultrasuoni con la tecnica dell’ecosonar.
Grafici sperimentali analitici
Brevetto
del Prof. Adolfo PASTORE Tel.
0823.937304
Manuale ver. 01 del
25/03/2006
attrezzature scientifiche per la didattica e la ricerca
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