FISICA/MENTE

 

APPARECCHIATURA PER LO STUDIO DI ALCUNI FENOMENI DI IDRODINAMICA

di Adolfo Pastore

 

(Alla fine di questa illustrazione vi è la possibilità di vedere un filmato, prodotto da Adolfo Pastore, che illustra visivamente la sua apparecchiatura).

 


 

 

 

 

 

 

PREFAZIONE

 

L’apparecchiatura di cui ci accingiamo ad illustrare il principio di funzionamento, si presenta come un sistema costituito da un  cilindro di alluminio in cui un pistone in alluminio a cui è stato praticato un foro assiale, si muove svolgendo un moto alternativo. Il pistone può traslare nel cilindro per mezzo di un cinematismo biella-manovella, compiendo quindi un moto armonico (in prima approssimazione).

All’altro estremo del cilindro è posto un altro cilindro in cui vi è un pistone mobile opposto al pistone principale può scorrere se sollecitato meccanicamente. Tale pistone è realizzato anch’esso in alluminio  e su di esso agisce o una forza elastica (molla) oppure una forza gravitazionale (massa appesa ad un filo inestensibile). Il sistema a geometria cilindrica coassiale è appoggiato in modo solidale su un supporto metallico, ed è provvisto di due piccoli tubi in plastica trasparenti in cui circola il liquido in esame, che viene raccolto in una vaschetta  graduata.

(circuito idraulico).

 

Esperienze di laboratorio realizzabili con l’apparecchiatura.

 

1)      Circuito idraulico con illustrazione del principio di funzionamento del sistema e sugli aspetti fisici dell’aspirazione e scarico del liquido.

 

2)       Trasformazioni energetiche :energia gravitazionale, energia elastica in energia conferita al liquido.

 

3)       Verifica sperimentale della dipendenza della pressione di un liquido in moto dalla sezione di  attraversamento.

 

4)       Studio del tubo di venturi.

 

5)   Studio sperimentale della legge di  Poisseuille.

 

SCHEMA DI PRINCIPIO DELL’APPARECCHIATURA

(energia potenziale gravitazionale in energia meccanica conferita al liquido)

   

 

Consideriamo il pistone P congelato nella posizione in cui il liquido contenuto nella vaschetta S risale attraversando il tubicino T1 per effetto della depressione creata nella camera C a causa dello spostamento del pistone P generato dalla rotazione della manovella M. La pressione esterna, corrispondente a quella atmosferica, come noto, spinge il liquido contenuto nella vaschetta ad invadere la camera C.

Ruotando in senso orario la manovella M, il pistone P avanza spostando il liquido contenuto nella camera C verso sinistra del disegno. Se supponiamo il liquido incomprimibile , è evidente che il pistone P1 non può fare altro che spostarsi e sollevare le due masse uguali (M1) a cui esso è connesso per mezzo di un sistema di carrucole conferendo ad esse una maggiore energia potenziale.

Quando il foro longitudinale del pistone P, si trova in corrispondenza del secondo foro del cilindro,il liquido può fuoriuscire grazie alla azione delle due masse che scendono per effetto della gravità. Il liquido attraversa il tubicino T2 e finisce nella vaschetta di raccolta S. Ruotando nuovamente la manovella M in senso antiorario il pistone P si sposta verso destra del disegno, torna indietro fino a quando il foro del pistone P si trova in corrispondenza del primo foro del cilindro ,consentendo così al liquido contenuto nella vaschetta, di risalire e fino alla camera C, il ciclo quindi si perpetua.

 

SCHEMA DI PRINCIPIO DELL’APPARECCHIATURA

(energia potenziale elastica in energia meccanica conferita al liquido)

 

 

Consideriamo il caso in cui al pistone P1 sia connessa una molla con costante elastica K come si evince dallo schema.

Il funzionamento è in sostanza ,analogo a quello precedentemente illustrato, con l’unica differenza che la molla viene compressa e rilascia la sua energia potenziale al liquido il quale fuoriesce dal foro del pistone P nel momento in cui esso si trova in corrispondenza del secondo foro del cilindro. Il lavoro svolto è compiuto dalle forze elastiche che conferiscono al liquido energia cinetica, potenziale e di pressione. In questo caso però sul liquido agisce una forza non costante ma dipendente, come noto, da x ovvero dall’accorciamento della molla (F= - K x   la nota legge di Hooke ). Dal punto di vista energetico , in teoria , trascurando gli attriti, abbiamo una trasformazione di energia potenziale elastica (1/2 K x2 ) in energia potenziale, cinetica e di pressione conferite al liquido in esame.

 

Moto di un liquido viscoso in un tubo di piccolo diametro.

Consideriamo un liquido reale di viscosità h, che attraversa un tubo di piccolo diametro dell’ordine di alcuni millimetri, con una velocità di scorrimento relativamente bassa (dell’ordine inferiore a 1 cm/sec). La  sezione considerata, nel caso della esperienza realizzata, possiede un raggio  r=0,4 cm .Nel caso specifico, possiamo affermare che il teorema di Bernoulli non è applicabile a causa appunto degli attriti interni del liquido e degli attriti tra liquido e pareti interne del tubo.

Infatti, come noto , avremo un profilo delle velocità che è minimo in prossimità delle pareti interne del tubicino e massima al centro, lungo l’asse di simmetria del tubo. L’esperienza insegna che per tale configurazione fisica è necessario ricorrere a quanto dimostrato teoricamente da Poiseuille.

La portata F di un tubo orizzontale di raggio r in cui scorre un liquido viscoso, di viscosità h, in regime laminare ,è proporzionale alla differenza di pressione P1-P2=DP che insistono tra due sezioni poste ad una distanza x, ed inversamente proporzionale alla resistenza al moto Rt dovuta agli attriti.

F = DP / Rt =          dove Rt= (8 h  x) / p r4

 per cui:

F = [(p r4 )/ (8 h  x)]   DP

 

 

VERIFICA SPERIMENTALE DELLA LEGGE DI POISSEUILLE

 

Consideriamo il tubicino orizzontale di uscita della apparecchiatura dove è stato inserito un manometro differenziale,come si evince dallo schema.

Dalla misurazione del dislivello h possiamo misurare DP.

Se il raggio del tubicino è noto e se conosciamo la viscosità del liquido circolante (ad una certa temperatura), possiamo fare diverse misure di diretta proporzionalità tra la portata misurata e la differenza di pressione misurata dal manometro differenziale.

La portata media può essere misurata determinando la velocità del pistone mobile, in corrispondenza del valore costante, ottenuta grazie al sensore di posizione ad ultrasuoni.

La portata può essere variata  aumentando o diminuendo il valore delle masse uguali, oppure rimanendo le stesse masse ,ma posizionando il pistone,quando si trova  al punto morto superiore, ad una posizione diversa da quella che si ha quando il foro del cilindro coincide perfettamente con quello del pistone.

 

ACQUISIZIONE ON-LINE

 

Nell’ambito della fisica on-line acquisiamo la misura di portata nel seguente modo:

Un trasduttore di posizione tipo ad ultrasuoni è  posto ad una distanza di 19 cm dalla superficie libera del pistone P1 , su cui è stata fissata una piccola superficie metallica preposta a riflettere gli ultrasuoni incidenti, si rivela la posizione istantanea del pistone P1 con la nota tecnica dell’ ecosonar. Inoltre il segnale analogico rappresentativo della distanza percorsa dal pistone P1 consente di determinare la sua velocità e accelerazione.

È altrettanto noto che tale segnale elettrico rappresentativo della posizione del pistone viene convertito da un A/D, in un segnale digitale ed acquisito on line dal computer grazie ad un software di acquisizione previamente installato (software LoggerPro).

L’acquisizione della posizione del pistone P1 comincia all’istante t=0 .

Quando le masse cominciano a scendere il pistone P1 comincia ad avanzare.

Trascorso un tempo t (misurato), il pistone ovviamente sarà avanzato di una quantità x nel cilindro in cui è alloggiato, pertanto avrà espulso una quantità di liquido Q  pari a S*x (dove S è la sezione del pistone che è nota).

Noto t ed x che si ricava dall’avanzamento dello stelo del pistone P1 possiamo ricavare la portata F che sarà uguale ovviamente a S*x/t =S*V   dove  V è la velocità di avanzamento del pistone.  

L’apparecchiatura utilizza anche  un sensore di forza e un sensore di pressione differenziale per la misura, rispettivamente, della forza di natura gravitazionale oppure elastica agenti sul liquido in esame e della pressione manometrica tra due sezione del tubo attraversato dal liquido poste ad una certa distanza X. Il  software di acquisizione, previamente installato sul computer,r interfacciato alla LabPro, consente la visualizzazione grafica e numerica delle grandezze fisiche misurate dai sensori.

 

TRASFORMAZIONE DI ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE IN ENERGIA MECCANICA CONFERITA AD UN LIQUIDO

  

 

Consideriamo il sistema composto da un cilindro e due pistoni P1 e P2 di cui il secondo è fermo ed il primo, P1, si muove con velocità costante V1.

Supponiamo di mettere in movimento, mediante il pistone P1,  un liquido contenuto nel cilindro che in prima analisi lo consideriamo non comprimibile e non  viscoso.

Possiamo assumere il regime, come stazionario se la velocità del pistone P1 è costante. Pertanto avremo, come è noto, dall’equazione di continuità, supponendo la  stessa densità del liquido

V1   S1=V2  S2

(Equazione di  continuità per  regime stazionario).

dove S1 , V1  e S2 sono  rispettivamente sezione cilindro, velocità del liquido nel  foro praticato nel pistone P2  che comunica con l’esterno, grazie  al  foro  praticato  in corrispondenza  sul  cilindro, infine  S2 è la sezione del foro del  pistone  P2.

Richiamando l’equazione  di  Bernoulli, avremo che  il  lavoro  compiuto   sul sistema , dalla forza risultante,  si  calcola , come  noto , considerando tre  contributi :

L=P1  DV1  -  P2 DV1  -  m g (h2-h1)

Se indichiamo con  d  la densità  del  liquido  avremo:

L = P1 Dm/d  -  P2 D m/d  - Dm g (h2-h1)

la variazione  di  energia  cinetica dell’elemento  di  liquido  è  uguale: 

DK = ½ Dm V22  -  ½  Dm V12

E, per  il  teorema  dell’energia cinetica,   DK = L   ; quindi  possiamo  scrivere:

P1  Dm/d  -  P2  Dm/d  - Dm  g  (h2-h1)= ½  Dm V22½  Dm V12

P1/d – P2/d – g  (h2-h1)=V22/2 – V12/2   (moltiplicando  tutto  per  d)

P1- P2- d g  (h2-h1)= ½  d  V22-  ½  d V12

P1+½  d V12+d g h1=P2+½  d  V22+d g h2

Questa  è  la  nota  equazione  de  Bernoulli  applicata  al  sistema.La  velocità  che  possiede il  liquido  in  S2 è  uguale alla velocità  del  pistone, P1 a regime stazionario.

Nel   caso  specifico  del   sistema , abbiamo  che lo spostamento del pistone  P1,  viene provocato  da  una  massa  che  scende   per   effetto  della   gravità. Dopo  un  breve  transitorio  svolto dalla   massa  che  cade, la  quale  è  solidale  al  pistone in  quanto  connesso ad esso mediante  una  fune  inestensibile, il  moto  lo  possiamo  considerare  a  velocità  quasi costante.

Il  pistone  P1  quindi    si   muoverà   con  una  velocità limite quasi costante ,pertanto il moto del liquido contenuto nel cilindro è in buona approssimazione stazionario. In tale ipotesi possiamo analizzare la conversione dell’energia potenziale gravitazionale della massa M, tolta la parte cinetica, in energia conferita al liquido  ( in realtà energia meccanica) .

Indicando con Ep =M g h l’energia potenziale della massa M è  ½  MV2  l’energia cinetica che possiede la massa M, avremo che:    

L=M g h - ½  MV2

in realtà le masse sono due di uguale valore, M risulta essere la loro somma ,nel  caso specifico si è usato  due masse la cui somma è : M=2,62 Kg

Nel caso specifico, poichè  la velocità  di caduta media è   relativamente  bassa, dell’ordine di  0,50cm/sec  avremo che l’energia  cinetica  delle  masse (M1=1316 g) sarà   uguale a:

Ec=½  MV2=½  * 2,2 * 0,0052=0,032 mJ  (milliJoule)

Mentre  l’energia   potenziale  è  uguale  a:

Ep=Mg  hm=2,62  9,8  0,055 (m)=1,412  Joule

Pertanto  l’approssimazione  di  trascurare  l’energia  cinetica  non  è  proibitiva.

Dal punto di vista dinamico, considerando gli attriti dovremmo avere che: 

Mg – Fa =m a    

dove  Fa  rappresenta  la  forza di  attrito. Una stima  di  Fa   la  si  può  avere  togliendo  il  liquido   nel cilindro e  le  masse (M), andando invece a  trovare  la  massa (M1) che  fa muovere  il  pistone P1  con  velocità  costante.

In  definitiva   L1 <1,412 J  in  assenza  di  liquido.

Possiamo  ragionevolmente sostenere  che  il   lavoro  (L)  compiuto sul  sistema  delle   forme  risultante  che  si   calcola  sommando  i  tre  termini :

1) lavoro  delle  forze  di  pressione  P1   V1 (masse che scendono)

2) il  lavoro   delle  forze  di  pressione  P2   V2  che  è  negativo  in  quanto  compiuto  dal   sistema.

3) il  lavoro  compiuto  sul  sistema  delle  forze  di  gravità  dovuto  al   sollevamento della porzione di   liquido V2  alla  quota  h2-h1. 

Pertanto : P1  DV1 – P2  DV1 - Dm g (h2-h1)= ½  Dm V22½  Dm V12

(M g Hm – ½  M Vm 2) - P2  DV1r DV1 g (h2-h1)= ½  r DV1 V22+     ½  r DV1 V12

(M g Hm – ½  M Vm2)=P2  DV1 + r DV1 g (h2-h1) + ½  r DV1 V22½  r DV1 V12

M g Hm- ½  MVm2= P2/r Dm + Dm  g (h2-h1)+ ½  DmV22-½  DmV12

M g Hm-½  M Vm2/Dm=P2/r+g (h2-h1)+ ½  V22-½  V12

r(M g Hm-½  MVm2)/Dm=P2+r g (h2-h1)+ ½  r V12

(M g H m – ½  M Vm2)/DV1=P2+r g (h2-h1)+ ½  rV22-½  rV12

Il  rapporto (M g Hm-½  M V2m/DV1) esprime  l’energia  gravitazionale  riferita  all’elemento  di   volume del  liquido DV1,che sarà uguale  alla   somma  della pressione  del   liquido P2, dell’ elemento  potenziale  (r g (h2-h1)  e dell’elemento cinetico  rV22-½  rV21) . 

Sono  state  effettuate  delle  misure  di  tempo  di  scorrimento  del  pistone  P1 mettendo  delle  tacche  sullo  stelo  ad  una  distanza  uguale  di  1.5 cm  e  con un  timer  (start-stop) abbiamo  riscontrato :  

che è   ragionevole  porre  una   velocità  di  scorrimento  quasi  costante  per  cui possiamo  supporre  che  si  sia  instaurato  un  regime  quasi  stazionario.

Poichè è  stato realizzato  un  circuito  idraulico, il  liquido  ritornava in  un  recipiente  graduato per cui è stato  possibile  misurare  il  tempo  di  raccolta del  liquido  e  misurare la portata media.

Per  verificare  sperimentalmente che  la  velocità  diminuisce   all’aumentare  delle sezioni  e  che  viceversa  aumenta  la  pressione  è possibile   realizzare  un semplice Tubo  di  Venturi . 

È noto che dal   principio  di  Bernoulli per un tubo orizzontale attraversato da un liquido (non comprimibile e non viscoso), considerando le sezioni S1 e S2 :

P1/r+V12/2g = P2/r+V22/2g      oppure:         (P1-P2) /r = (V22-V12)/2g

 

Poiché    S1*V1 = S2*V2         V2=(S1/S2) V1=m V1      dove m = S1/S2

(P1-P2) /r = (m2V12- V12) / 2g = [(m2-1) / 2g ]  V12         quindi:

V1=Ö[2g/(m2-1)]  * Ö(P1-P2)/r = K  Ö(P1-P2)/r

 Quindi  possiamo scrivere che    V1=K2 Öh

 

Il dislivello monometrico h, viene misurato dal sensore di pressione differenziale

 

TRASFORMAZIONE DI ENERGIA POTENZIALE  ELASTICA IN  ENERGIA MECCANICA CONFERITA AD UN LIQUIDO

 

Consideriamo  il  sistema  rappresentato  in  figura. Il  pistone P1 è  congelato  nella  posizione  che  comprime  di  una  certa  quantità  Dx  la  molla  che  possiede  una costante  elastica K.

Il  funzionamento  del  dispositivo  è  abbastanza   semplice.

L’energia  elastica  accumulata  dalla  molla  in  seguito  all’avanzamento  del  Pistone  P2 si converte in energia idraulica (energia meccanica). Infatti il liquido contenuto nel cilindro fuoriesce verso l’esterno attraversando il foro del pistone P2, che si trova al punto morto superiore, in corrispondenza del foro del cilindro.  

L’energia  potenziale  accumulato  dalla  molla  è  come  noto : U=1/2 K * Dx2

La  velocità  di  avanzamento  del  pistone  non  è  costante.

La forza massima esercitata dalla molla sul pistone P1 ( quindi  sul  liquido ) è uguale 

F = - K* Dx

Se  consideriamo  un  singolo  elemento  di  volume  DV  piuttosto  piccolo avremo  per  ogni  istante  che Dm/Dt  è  costante, per  cui  la  massa  del  liquido che  viene  spostata  dal  pistone  P1  di  sezione  S1, sarà uguale alla  massa  che  esce attraversando  la  sezione S2  nello  stesso  intervallo  di  tempo. Per  un  elemento DV  di  volume  spostato  possiamo  calcolare  il  lavoro L compiuto  dalle  forze  agenti sul  sistema  nel  modo noto.   

DL= P1*DV –P2* DV -Dm g (h2-h1)=DK

P1 DV –P2 DV –(DV d) g Dh= ½ (DV d) V22½  (d DV) V12

P1 - P2 – d g Dh = ½  d V22-½  d V12

P1=|K* Dx|/S1

K DX/S1- P2-d g Dh= ½  d V22- ½  d V12

ma   anche :

P1 DV-P2 DV-(d DV) g Dh=½  d DV V22 - ½  d DV V12

P1 DV  è  il  lavoro  compiuto  dalle   forze  di  pulsione  di  natura  elastica, per  cui  è uguale  a

½ K Dx2 -½  M V2

dove  M  è  la  massa  del  pistone  e V  e la  sua  velocità  istantanea.

(½  K Dx2-½  M V2)-P2 DV-d DV g Dh=½  d DV V22- 1/2 d DV V12

½  K Dx2-½  M V2=P2 DV+d DV g Dh +½  d DV V22- ½ d DV V12

(½ K Dx2- ½  M V2)/DV=P2+d g Dh+ ½  d V22- ½  d V12

(DK=DU : molla  in  oscillazione  libera  con  un  blocco  di  massa  M.

Nel  caso esaminato , una  parte  dell’energia  potenziale  della  molla si  trasforma in  lavoro sul  liquido   P1 DV = E - K       

 

MISURAZIONI EFFETTUATE SULLA VERIFICA SPERIMENTALE DELLA LEGGE DI POISEUILLE.

 

Per la realizzazione della esperienza è stato utilizzato un tubicino di gomma del diametro interno di 4 mm (0,4 cm) , collegato sul foro di uscita e disposto per  una certa lunghezza in modo orizzontale. Ad una distanza 35 cm è stato inserito una piccola connessione a T la quale consentiva una derivazione di due piccoli tubicini che vengono connessi alle due estremità del trasduttore di pressione differenziale.

Il liquido usato per le misurazioni è acqua a temperatura ambiente.

Per l’esecuzione dell’esperienza abbiamo proceduto nel seguente modo.

La posizione del pistone mobile P1 è rivelata dal trasduttore di posizione ad ultrasuoni mediante tecnica ecosonar .Vengono appese  le due masse uguali grazie ad un sistema di carrucole.  

E’ stato riscontrato sperimentalmente ,elaborando le diverse misure effettuate che la legge teorica di Hagen-Poiseuille può essere scritta :

                              

F =  [(p*r4 )/ (8*h * X)] * DP

 

Si deve tener conto delle perdite di carico nei punti di giuntura, compatibilmente con il diametro del tubicino in cui scorre il liquido e quello del tubicino monometrico.

Motivo per cui è necessario moltiplicare la portata ottenuta applicando la formula , una volta misurate, o note, le altre grandezze fisiche, per un coefficiente K ,da determinare sperimentalmente ripetendo la stessa esperienza con masse di valore diverso.

Il volume di liquido (acqua) spostato, lo si ricava moltiplicando la sezione del pistone P1 (di 7 cm2) per la velocità di  scorrimento dello stelo del pistone mobile,  misurato dal sensore ad ultrasuoni ,in corrispondenza del valore costante, come si può riscontrare dal grafico velocità - tempo fornito dal software di acquisizione.

La portata F la si può anche  ricavare, come noto, dividendo il volume spostato per il tempo impiegato F = V/t ( cm3/sec).

La velocità di scorrimento del pistone ovviamente:V=X/t (cm/sec).

I dati sono:

h = 0,01 g cm-1sec-1 ( viscosità dell’acqua a 25°C 0,01 Poise), X= 35 cm  , DP lo si ricava dal grafico pressione tempo dividendo il valore di tensione di uscita dell’amplificatore (grafico tensione tempo) per il suo guadagno che vale 75, il risultato si divide per 16,7 mV/psi che è la sensibilità del sensore di pressione differenziale, il numero ottenuto lo si moltiplica per 0,07 (psi a Atmosfere –atm) e il risultato ottenuto si moltiplica per 101 *10000,  otteniamo così la pressione misurata in dyn/cm^2. Quindi l’algoritmo è:

 

DP(dyn/cm^2)= (V/ 75*16,7)*(70700)

 

 

Verifica della legge di Poiseuille utilizzando

 come liquido acqua e una massa da 1,3 Kg

 

           

 

VALUTAZIONE DEL NUMERO DI  REYNOLDS

 

Nel  caso specifico del liquido che attraversa il tubicino possiamo determinare la velocità di attraversamento V della sezione S1,che è uguale a : P*r2 =3,14*0,22=  0,125 cm2 , dividendo la portata F per P*r2 .Quindi V =F /0,125.Conoscendo la velocità V , le caratteristiche fisiche del liquido , il diametro del tubo nonchè la stato della parete interna (la mancanza di asperità –pareti lisce) possiamo valutare il rapporto tra le forze di inerzia e quelle viscose che agiscono sul liquido, ovvero determinare il numero adimensionale di Reynolds che, come noto, fornisce una caratterizzazione del moto , in relazione alla sua natura di moto laminare o turbolento la letteratura recita che per R minore di 2400 il moto è laminare ,diversamente è turbolento. E’ altrettanto noto che un moto di un liquido viscoso che attraversa una sezione circolare di un tubo senza rugosità ben levigato con forma particolarmente accurata e simmetrica degli estremi del tubo il valore di R può essere anche maggiore di quello appena dato. Infatti  esso può raggiungere anche il valore di 10000 e, sia pure per regimi instabili fino a 20000.

Il numero di Reynolds per tubi a sezione circolare di diametro d è dato:

R= (V*d* r )/ h

Dove R è il numero di Reynolds, V è la velocità del liquido ,d  il diametro del tubo, r la densità del liquido, h  la viscosità assoluta del liquido.

Per il tubo di cui abbiamo disposto di diametro di 0,4 cm  in buono stato senza asperità interne, possiamo determinare la velocità limite VL dalla relazione inversa data poc’anzi, assegnando a R il valore teorico di 2400;  naturalmente il valore sperimentale di R, compatibilmente con la geometria del tubo e lo stato delle pareti interne andrebbe misurato sperimentalmente aumentando la velocità V fino al raggiungimento della velocità limite  VL e riscontrando il passaggio dal moto laminare a quello turbolento.

Se assegniamo a R il valore di 2400 abbiamo che :

VL= (2400*0,01)/0,4*1= 60 cm/sec

 

EQUAZIONE DELL’ENERGIA APPLICATA AI FLUIDI

 

Come è noto ,l’energia posseduta da un fluido in moto è costituita dall’energia interna e dall’energia dovuta a pressione, velocità e posizione.

Nella direzione del flusso,il principio di conservazione dell’energia si può così sintetizzare:

Energia nella sezione1 + (energia aggiunta ) – (energia perduta) – (energia estratta) =

Energia nella sezione 2

Questa equazione ,per il moto permanente di fluidi incompressibili per i quali la variazione di energia interna è trascurabile , possiamo scriverla:

(P1 + ½ d V12 + d g h1) - Ha - Hl - He= (P2 + ½ d V22 + d g h2) (teorema di Bernoulli).

Nel caso nostro specifico ,come è stato detto,vi è un pistone che viene spinto dalla forza di gravità (massa M). Se trascuriamo l’attrito di scorrimento di tale pistone nel cilindro di alloggiamento è stato riscontrato ,effettuando diverse misure con portata diversa e masse appese di diverso valore che è possibile determinare l’energia del liquido (è stato fatto per l’acqua) che viene persa a causa dell’attrito interno  e della viscosità del liquido.

Per realizzare l’esperienza è stato posto una estremità  manometro ad U contenente mercurio in un punto del tubo orizzontale all’uscita del secondo foro e l’altra estremità  aperta in aria libera .

Tale manometro misurava la pressione nella sezione 2 secondo la direzione del flusso.

La pressione nella sezione 1 è determinata dal valore delle masse appese riferite alla superficie del pistone (vedi schema). Se trascuriamo in prima analisi l’attrito del pistone il principio di conservazione dell’energia possiamo così scriverlo per l’apparecchiatura oggetto di analisi: 

 Energia nella sezione S1 – Hp (energia perduta) = Energia nella sezione S2  (P1 + ½ d V12 + d g h1) – Hp  = (P2 + ½ d V22 + d g h2)

La pressione P1 è quella esercitata dalle masse M che è uguale a (M g)/ S1

La velocità V1 si determina come x/t ,dove X è lo scorrimento dello stelo del pistone assunto di 3 cm e t è il tempo di scorrimento misurato con un cronometro. La pressione P2 nella sezione S2, viene determinata andando a misurare i millimetri di mercurio sollevati.

La velocità V2 la si determina dal valore della portata diviso per la sezione di attraversamento del tubicino che possiede un diametro di 0,4 cm ( S2 = 0,125 cm2 ) .

Se assumiamo come riferimento geodetico il centro del cilindro avremo h1=0 e h2 è risultato essere di 10 cm.

Ovviamente Hp lo si trova per differenza tra l’energia nella sezione S1 e S2.

Dalle misure effettuate è risultato che  Hp è proporzionale alla differenza della pressione P1 e P2 .

Hp = K  (P1-P2)

 


CARATTERISTICHE DELL’APPARECCHIATURA

 

L’apparecchiatura è stata realizzata completamente in alluminio ed è montata su un telaio in ferro. Essa si avvale di tre sensori : di posizione ,di forza e di pressione e di un amplificatore di tensione di guadagno uguale a 75.

Il sensore di posizione è costituito da un trasduttore ad ultrasuoni che utilizza la tecnica dell’ecosonar per misurare la distanza, la velocità e l’accelerazione del pistone mobile, che si muove per effetto della massa che scende. Infatti un fascio di ultrasuoni emesso dal sensore, viene riflesso dalla superficie metallica che è solidale al pistone.

Il trasduttore di pressione differenziale è di tipo a ponte piezoresistivo con elemento attivo di potenza, misura una gamma di pressione da zero ad 1 psi ed è connesso ad un amplificatore di tensione con un guadagno di 75. Il sensore di pressione è collegato a due tubicini con inserzione su una connessione a T ,alle due estremità del tubo di mandata orizzontale del diametro interno di 4mm , alla distanza di 35 cm; esso pertanto misura la caduta di pressione provocata dalla viscosità del liquido in esame.

Si verifica anche, sperimentalmente, la dipendenza della caduta di pressione, dalla portata della sezione del tubicino attraversata dal liquido. La portata può essere variata collegando al filo masse di valore diverso. E’ anche possibile in tal modo, verificare la legge di Poisseuille.

Viene usata l’interfaccia analogia-digitale Labpro a cui sono connessi i tre sensori e l’amplificatore di segnale ed il software di acquisizione LoggerPro della Vernier, installato previamente sul computer .

Il sensore di forza è quello fornito dalla Vernier con portata di 50 N mod. v-dfs-bta.

 

 

INSTALLAZIONE E CONFIGURAZIONE

 

Collegare i sensori all’interfaccia Labpro,

Sensore di posizione V-MD-BTD

Sensore di forza V-DFS-BTA

L’Amplificatore di segnale V-INA-DIN  , è incorporato nell’apparecchio e occorre fare attenzione ai collegamenti:

l’ingresso rosso dell’amplificatore deve essere collegato alla connessione nera del cavetto con spina a banana di 4 mm e viceversa, in caso di errata connessione i valori  potrebbero essere errati.

L’amplificatore di segnale non viene riconosciuto in modo automatico dal software LoggerPro quindi occorre impostarlo manualmente.

Prima di effettuare un’acquisizione di dati procedere all’azzeramento di ogni singolo sensore facendo attenzione a non collegare alcuna massa al sensore di forza..

 

NB:

·        l’amplificatore di segnale va impostato a 20mV.

·        la frequenza di campionamento a 8 - 10 max  campionamenti /sec

 

MODALITÀ OPERATIVE

 

Ruotando la manovella connessa al cinematismo biella –manovella di 180° si porta  il pistone al punto morto inferiore (massima fuoriuscita dal cilindro) e lo si lascia per alcuni secondi .

Con tale operazione si è  consentito di far corrispondere il foro assiale del pistone con quello di aspirazione del cilindro. Nella camera del cilindro si è generata una depressione per cui il liquido viene aspirato dalla vaschetta di raccolta andando ad occupare un certo volume del cilindro.

Ruotando la manovella di altri 180°, il pistone mobile collegato al cinematismo biella - manovella, viene portato in avanti e la massa viene sollevata di una certa quota, aumentando la sua energia potenziale.

Quando il foro assiale del pistone si trova in corrispondenza del secondo foro di mandata del cilindro, il liquido riceve energia dalla massa che scende e circola nel tubicino di mandata, raggiungendo, dopo un transitorio, una velocità pressoché costante (come si evince da grafico velocità-tempo).

Anche in questo caso attendere qualche secondo necessario allo compimento temporale dell’evento di mandata del liquido.

Per consentire una accettabile misurazione è necessario ruotare la manovella con continuità  senza interruzioni fermandosi sempre a 180 gradi per il tempo necessario allo svolgimento completo dell’aspirazione e mandata del liquido. Inotre, dal punto di vista sperimentale, è necessario misurare anche la temperatura del liquido contenuto nella vaschetta,in quanto come noto, la viscosità dipende oltre dalla natura del liquido, anche dalla temperatura.

 

Grafici sperimentali ottenuti effettuando delle misure con l’apparecchiatura.

 

 

 

 

I grafici riportati mostrano un acquisizione dati, ottenuta facendo ruotare la manovella di 180 gradi e lasciando trascorrere il tempo necessario per consentire al liquido lo svolgimento dei due eventi di aspirazione e di mandata.

I quattro grafici, rappresentano, rispettivamente  dall’alto in basso:

il primo, la Forza di natura gravitazionale, che agisce sul pistone mobile, esercitando una pressione costante sul liquido contenuto nella camera del secondo cilindro coassiale al primo, il quale è costretto ad attraversare il tubicino di mandata.

Il secondo fornisce il segnale in tensione misurato in mV in funzione del tempo, che è  proporzionale alla differenza di pressione tra le due sezioni poste ad una distanza di 35 cm del tubicino di mandata. Con opportuna conversione possiamo avere la misurazione della differenza di pressione in dyn/cm^2. La formula di conversione è la seguente:

 

DP(dyn/cm^2)= (Tensione/ 75*16,7)*(70700)

 

Si può notare che quando il liquido ha raggiunto una velocità costante la pressione , per un certo intervallo, si mantiene pressoché costante ed è quello il valore sperimentale di tensione corrispondente che va utilizzato nella formula.

Il terzo e il quarto grafico, rappresentano rispettivamente, la posizione istantanea e la velocità del pistone mobile fornite dal trasduttore ad ultrasuoni con la tecnica dell’ecosonar.

 

Grafici sperimentali analitici

 

Grafici sperimentali ottenuti effettuando delle misure con l’apparecchiatura.

 

 

 

 

I grafici riportati mostrano un acquisizione dati, ottenuta facendo ruotare la manovella di 180° e lasciando trascorrere il tempo necessario per consentire al liquido lo svolgimento dei due eventi di aspirazione e di mandata.

I quattro grafici, rappresentano, rispettivamente  dall’alto in basso:

il primo, la Forza di natura gravitazionale, che agisce sul pistone mobile, esercitando una pressione costante sul liquido contenuto nella camera del secondo cilindro coassiale al primo, il quale è costretto ad attraversare il tubicino di mandata.

Il secondo fornisce il segnale in tensione misurato in mV in funzione del tempo, che è  proporzionale alla differenza di pressione tra le due sezioni poste ad una distanza di 35 cm del tubicino di mandata. Con opportuna conversione possiamo avere la misurazione della differenza di pressione in dyn/cm^2.

La formula di conversione è la seguente:

 

DP(dyn/cm^2)= (Tensione/ 75*16,7)*(70700)       

oppure

DP(dyn/cm^2)= tensione*56,44   quindi in generale la portata:

 

F =  [(p*r4 )/ (8*h * X)] * DP

 

 Inoltre, in particolare per acqua con viscosità  η=0,01 poise  a 25 gradi Celsius abbiamo che :

                        Portata (nella sezione del tubicino mandata cm^3/s  ) = Tensione * 0,101

Si può notare che quando il liquido ha raggiunto una velocità costante la pressione, per un certo intervallo, si mantiene pressoché costante ed è quello il valore sperimentale di tensione corrispondente che va utilizzato nella formula.

Il terzo e il quarto grafico, rappresentano rispettivamente, la posizione istantanea e la velocità del pistone mobile fornite dal trasduttore ad ultrasuoni con la tecnica dell’ecosonar.

 

Grafici sperimentali analitici

 

 

 

 

 

 


 

Brevetto del Prof. Adolfo  PASTORE Tel. 0823.937304

Manuale ver. 01 del 25/03/2006

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